集合論

《斯坦福哲學(xué)百科全書》將集合論描述為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)最偉大的成就之一”，集合論被廣泛認為是由康托爾在1873-1884年間所做的研究所建立的。特別地，集合論的起源可以追溯到康托爾于1874年發(fā)表的一篇論文，題為《關(guān)于所有實數(shù)集合的性質(zhì)》。它提出的最基本和最重要的結(jié)果是實數(shù)的不可數(shù)性。

在短短的五頁里，康托的論文提出了三個重要的結(jié)果：

實代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的；

在每一個區(qū)間[a,b]中都有無窮多個不包含在任何數(shù)列中的數(shù)，結(jié)果就是

實數(shù)的集合是無窮無盡的。

什么是集合？集合是元素的集合。由3、4、5組成的集合用{3、4、5}表示。

可數(shù)性

可數(shù)集合是指具有與自然數(shù)集合的某個子集相同基數(shù)的集合。

可數(shù)性是集合論中的一個重要性質(zhì)?？蓴?shù)性的直觀解釋是“列表性”，即集合的元素可以寫在一個列表中。最固有的可數(shù)集合是自然數(shù)集，因為的元素是計數(shù)數(shù)本身。我們知道，它們在數(shù)量上是無限的，所以稱為可數(shù)無限。對于其他集合，形式上，聲明一個集合是可數(shù)的，意味著集合的元素可以與自然數(shù)集合的元素一一對應(yīng)

如果存在從S到自然數(shù)={1,2,3，…}的內(nèi)射函數(shù)f，則集合S是可數(shù)的。如果能找到這樣一個f也是滿射，則S被稱為可數(shù)無限集，或可數(shù)集。

例如偶數(shù)集合(2n|n∈)：

我們看到兩個集合的元素可以一一對應(yīng)，因此我們可以確定偶數(shù)集合也是可數(shù)的。

可數(shù)性使我們可以根據(jù)集合所包含的元素的數(shù)量來進行比較，而不需要實際計算任何東西，并通過這種方式來推斷有限集和無限集的相對大小。從實際考慮，讓我們想象一個有100個座位的教室來說明這個有限的情況。如果教室里擠滿了學(xué)生，我們就可以推斷出學(xué)生的數(shù)量與座位數(shù)量的關(guān)系。如果座位是空的，座位集要比學(xué)生集大。如果沒有空座，有的學(xué)生還站著，則學(xué)生的集大小要大于座位集的大小。

有理數(shù)的可數(shù)性（1873）

康托爾首次發(fā)表關(guān)于集合可數(shù)性的研究是在1873年，當時他證明了有理數(shù)是可數(shù)的。他的證明相當優(yōu)雅和直觀：

讓我們首先提出，這組有理數(shù)是可數(shù)的。為了證明這個命題，讓我們把所有有理數(shù)排列在一個無限表中

然后，從左上角開始，從左到右45度移動對角線，從1/1開始，然后是1/2和2/1，然后是3/1，2/2和1/3，以此類推。寫下遇到的每一個新數(shù)。它不僅是有序的，而且與自然數(shù)的自然順序一一對應(yīng)。這證明了有理數(shù)的可數(shù)性。

實代數(shù)數(shù)的可數(shù)性（1874）一年后，在他1884年的論文中，康托爾證明了實代數(shù)數(shù)是可數(shù)的。實數(shù)代數(shù)數(shù)是實數(shù)ω，滿足如下公式，a ω + aω + … + a= 0。也就是說，實代數(shù)數(shù)是非零實多項式的根。它們是可數(shù)的，即：

所有代數(shù)實數(shù)的集合可以寫成一個無窮數(shù)列。

康托爾在他1874年的論文中證明了這一點：

實代數(shù)數(shù)可數(shù)性的證明（1874）

對于每一個多項式方程的形式

系數(shù)為a的整數(shù)，定義它的指數(shù)為系數(shù)的絕對值加上方程的次數(shù)之和：

指數(shù)2的唯一方程是ω = 0，所以它的解0是第一個代數(shù)數(shù)。指數(shù)3的四個方程是2x = 0，x + 1 = 0， x - 1 = 0, x2 = 0。它們的根是0、-1、1，所以他把新值-1和1作為他的代數(shù)數(shù)列表中的第二項和第三項。

注意，對于每個指數(shù)，只有有限的方程，每個方程也只有有限的根。根據(jù)指數(shù)的順序和在每個指數(shù)內(nèi)增加數(shù)量級來列出新根，這樣就建立了列出所有代數(shù)數(shù)的系統(tǒng)方法。和有理數(shù)一樣，與自然數(shù)的一一對應(yīng)證明了代數(shù)數(shù)的集合必須是具有可數(shù)性的無窮。

實數(shù)的不可數(shù)性

康托將可數(shù)性作為一個概念的最富有成效的運用出現(xiàn)在他1874年論文的第三個結(jié)果中，他證明了實數(shù)的不可數(shù)性。實數(shù)是一個連續(xù)的值，可以表示一條直線上的距離。任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)表示出來，例如8.632、0.00001、10.1等等，其中每個連續(xù)數(shù)字都以前一個數(shù)字的十分之一為單位來計算。實數(shù)不可數(shù)的表述等價于：

給定任意實數(shù)序列和任意區(qū)間[α ... β]，可以在[α ... β]中確定一個數(shù)η，η不屬于給定的實數(shù)序列，因此，我們可以在[α ... β]中確定無窮多個這樣的數(shù)η數(shù)。

他最初的證明（康托的第一個不可數(shù)性證明）是這樣的，基于博爾扎諾-韋斯特拉斯定理：

實數(shù)不可數(shù)性的證明：

假設(shè)我們有一個無窮實數(shù)數(shù)列，

這個數(shù)列是隨機生成，而且數(shù)字之間互不相同。那么，在任意給定區(qū)間(α ... β)內(nèi)，可以確定一個數(shù)η，使其不出現(xiàn)在數(shù)列(i)中，這樣的η是無窮多的。

序列(i)的前兩個數(shù)位于這個區(qū)間的內(nèi)部（邊界除外），可指定為α'， β'，讓α' < β'。讓我們指定數(shù)列(α' ... β')的前兩個數(shù)α"， β"并且α" < β"。同樣地，構(gòu)造下一個區(qū)間，以此類推。

因此，根據(jù)定義，α', α" ...是序列(i)的確定數(shù)，其指數(shù)是遞增的。序列β'， β"， ...也是如此。此外，數(shù)列α'， α"…總是增加的，而數(shù)列β'， β"，…總在減小。

在第一種情況下，這樣形成的間隔的數(shù)目是有限的。在這種情況下，讓最后一個是（α…β）。因為它的內(nèi)部最多可以是序列(i)中的一個數(shù)，所以可以從這個區(qū)間中選擇一個不包含在(i)中的數(shù)η，從而證明了定理。

在第二種情況下，構(gòu)造區(qū)間的數(shù)目是無限的。那么，因為它們總是在不斷地增大，而不是無限地增大，所以這些數(shù)α， α'， α'，…有一個確定的邊界值α。同樣適用于數(shù)字β， β'， β"，…因為它們總是在變小。設(shè)其邊值為β。如果α= β，η = α= β不能包含在我們的序列(i)中。然而，如果α< β，然后區(qū)間[α ... β]內(nèi)的所有η值以及它的邊界滿足它不包含在序列(i)中的要求。