何炅電視機(jī)前的觀眾朋友們大家好！

撒貝寧歡迎收看：男生女生請(qǐng)就位！

何炅今天這期節(jié)目，我們將和嘉賓們一起探索勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度，時(shí)間，位移關(guān)系的奧秘！

所有嘉賓好耶！

觀眾們啊啊啊啊啊啊啊啊??！

撒貝寧在之前的節(jié)目中，我們淺淺提了一下勻加速直線運(yùn)動(dòng)。而勻加速直線運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一種。今天我們要來(lái)聊一聊勻變速運(yùn)動(dòng)中存在的普遍規(guī)律。請(qǐng)嘉賓們思考：你能通過(guò)“勻變速直線運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞語(yǔ)，推測(cè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)具有哪些特點(diǎn)呢？

鞠婧祎我覺(jué)得“勻變速”這個(gè)詞，應(yīng)該意味著這種運(yùn)動(dòng)的速度是隨時(shí)間均勻變化的，也就是加速度的大小和方向都不變。

何炅鞠婧祎同學(xué)分析的很正確。最關(guān)鍵的一點(diǎn)是，她注意到了加速度是一個(gè)矢量，矢量是有方向的。

所有嘉賓酷！

觀眾們酷！

撒貝寧我們可以以勻加速直線運(yùn)動(dòng)為例，作出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的其中一種圖像。

撒貝寧

宋雨琦在這張圖片中，一條傾斜的直線代表速度隨時(shí)間均勻變化，我們也可以將這種變化稱為線性變化。并且，直線起點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示運(yùn)動(dòng)的初速度。

宋雨琦

易烊千璽我們還可以發(fā)現(xiàn)：在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，任意相等時(shí)間，速度的變化量是相同的。

易烊千璽

虞書(shū)欣還有還有，在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，加速度不能為0。

何炅嘉賓們的分析可以總結(jié)為以下四句話：

何炅

何炅這四句話既是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，也是判定勻變速直線運(yùn)動(dòng)的條件。并且，這四個(gè)條件在判定過(guò)程中是等價(jià)的。也就是說(shuō)，只要一個(gè)運(yùn)動(dòng)滿足這四句話中的其中一句，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就是勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

撒貝寧我們一起了解了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和判定條件，現(xiàn)在讓我們來(lái)聊聊勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的速度-時(shí)間關(guān)系吧。

何炅我們?cè)诹私饧铀俣鹊哪瞧诠?jié)目中提到了這條公式：a=（vt-v0）/t，這條公式的意思是，平均加速度等于一段時(shí)間的速度變化量除以這段時(shí)間。

撒貝寧如果我們讓公式兩端同時(shí)乘t，就會(huì)得到：at=vt-v0

何炅如果我們?cè)僮尮絻啥送瑫r(shí)加v0，就會(huì)得到：vt=v0+at

撒貝寧這樣，我們就得到了勻變速直線運(yùn)動(dòng)中速度與時(shí)間的關(guān)系式：末速度等于初速度加上加速度乘時(shí)間，并且要注意，這里的末速度，初速度，加速度都是矢量，在計(jì)算過(guò)程中要記得考慮方向。一般情況下，我們規(guī)定初速度的方向?yàn)檎较?。?jì)算時(shí)，我們既可以讓數(shù)據(jù)本身帶有正，負(fù)號(hào)，也可以讓數(shù)據(jù)不帶正，負(fù)號(hào)，根據(jù)實(shí)際情況自主添加合適的正，負(fù)號(hào)。

迪麗熱巴我覺(jué)得，這條公式還有另一種證明方法。在速度-時(shí)間圖上取縱坐標(biāo)為vt，橫坐標(biāo)為t的一點(diǎn)，以vt為下底，v0為上底，t為高作一個(gè)直角梯形。過(guò)（0，v0）作高交vt，將直角梯形分割為一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)直角三角形，vt等于長(zhǎng)方形的寬加上三角形的底。由圖片易知長(zhǎng)方形寬為v0。在直角三角形中，底與高的比等于斜邊的斜率。在速度-時(shí)間圖中，直線的斜率表示加速度a，且三角形的高為t,三角形的底就等于at（at/t=a→底/高=斜率）。綜上，vt=v0+at

迪麗熱巴

何炅熱巴同學(xué)太棒啦，她想到用幾何關(guān)系來(lái)證明速度與時(shí)間的關(guān)系。

撒貝寧其實(shí)，在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，速度與時(shí)間還存在一種關(guān)系，我們把它稱為：中點(diǎn)時(shí)刻速度。在一段時(shí)間的勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，這段時(shí)間的中點(diǎn)時(shí)刻速度等于初速度與末速度和的一半，也就是等于這段時(shí)間都平均速度。

賀峻霖這是為什么呢？

王俊凱我覺(jué)得，我們可以通過(guò)速度-時(shí)間圖像進(jìn)行計(jì)算。在剛才的圖像中，梯形的面積可以表示時(shí)間t內(nèi)產(chǎn)生的位移，因?yàn)槲覀兛梢詫⑻菪呜Q著切割成無(wú)數(shù)個(gè)極細(xì)的長(zhǎng)方形，表示無(wú)數(shù)個(gè)極短時(shí)間內(nèi)的位移，再將這些位移相加，得到梯形的總面積，即總位移。梯形的面積等于上底加下底的和乘高除以二，所以S梯形=(v0+vt)t/2。時(shí)間t內(nèi)的平均速度等于總位移除以總時(shí)間，所以v平=[（v0+vt）t/2]/t，即v平=(v0+vt)/2。繼續(xù)在梯形上t/2處作梯形的中位線，梯形的中位線等于上底加下底的和除以二，即(v0+vt)/2。

王俊凱

何炅俊凱同學(xué)的分析非常合理！

撒貝寧嘉賓們還記得上期節(jié)目我們使用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器時(shí)的紙條嗎？我偷偷保存了一張，因?yàn)榻裉斓墓?jié)目仍然能用上它。我們上期節(jié)目將AB之間的平均速度近似看作vA或vB，今天我們了解了更精確的計(jì)算方法，就讓我們來(lái)看看如何用新方法解決老問(wèn)題吧！

所有嘉賓酷！

觀眾們好期待！

撒貝寧讓我把上期節(jié)目的紙條拿出來(lái)。

撒貝寧

何炅在這張紙條中，B點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，B點(diǎn)時(shí)刻是AC的中點(diǎn)時(shí)刻，所以vB等于總位移除以總時(shí)間vB=（xA+xB）/2T。因?yàn)槲覀兡壳安恢兰铀俣?，所以無(wú)法使用速度與時(shí)間的關(guān)系式。我們還是應(yīng)該使用中點(diǎn)時(shí)刻速度公式，AB的中點(diǎn)時(shí)刻速度v1=（vA+vB）/2=xA/t，則vA=2xA/t-vB。同理，BC的中點(diǎn)時(shí)刻速度v2=（vB+vC）/2=xB/t，則vC=2xB/t-vB，這樣就可以把vA和vC的準(zhǔn)確值算出來(lái)了。

丁程鑫我有一個(gè)疑問(wèn)，分析的過(guò)程中提到我們目前不知道加速度，我們可不可以根據(jù)已有條件，計(jì)算出加速度呢？

撒貝寧程鑫同學(xué)發(fā)現(xiàn)了關(guān)鍵問(wèn)題，我們確實(shí)可以計(jì)算出加速度。我們將剛才的大梯形分成三個(gè)小梯形，令每個(gè)小梯形的高為t，再將每一個(gè)小梯形都分成一個(gè)直角三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形。我們可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)小梯形中的直角三角形都是全等的，三個(gè)小梯形面積的差異在長(zhǎng)方形中。我們?cè)賹?duì)長(zhǎng)方形進(jìn)行切割，在第二個(gè)長(zhǎng)方形中切割出與第一個(gè)長(zhǎng)方形相同的圖形，在第三個(gè)長(zhǎng)方形中切割出與第二個(gè)長(zhǎng)方形相同的圖形，可以發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積差是固定的，相鄰兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積差是一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，且小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別于直角三角形的高和底相等。我們知道了，直角三角形底和高的比就是斜邊的斜率（加速度a），直角三角形的高為t，所以直角三角形的底為at（at/t=a)。綜上小長(zhǎng)方形的面積是at2，也就是勻變速直線運(yùn)動(dòng)中兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間里的位移差為加速度乘時(shí)間的平方，即S△=at2

撒貝寧

丁程鑫所以，小紙條運(yùn)動(dòng)的加速度為（xB-xA）/T2。計(jì)算出加速度，我們就可以使用速度與時(shí)間的關(guān)系式了！

何炅事實(shí)上，勻變速直線運(yùn)動(dòng)中連續(xù)相等時(shí)間的位移可以看作一個(gè)公差為at2的等差數(shù)列。

撒貝寧說(shuō)完了速度與時(shí)間的關(guān)系，下面我們來(lái)說(shuō)說(shuō)位移與時(shí)間的關(guān)系吧。

何炅剛才俊凱同學(xué)在分析中提到了這一條公式：S梯形=（v0+vt）t/2，S梯形是時(shí)間t內(nèi)的總位移，即s=（v0+vt）t/2。我們又知道vt=v0+at，將vt=v0+at代入s=（v0+vt）t/2中，得到s=（2v0+at）t/2，化簡(jiǎn)得到s=v0+at2/2。這就是時(shí)間與位移的關(guān)系式，位移等于初速度加上加速度乘時(shí)間的平方除以二。

肖戰(zhàn)嘿，我發(fā)現(xiàn)式子里的v0和a都是常量，因?yàn)檫@個(gè)式子描述的是勻變速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系（a的大小和方向不變）。所以，位移的表達(dá)式是一條關(guān)于t的一元二次方程式。

撒貝寧肖戰(zhàn)同學(xué)說(shuō)得很好，如果位移s隨時(shí)間t的變化關(guān)系為t的一次函數(shù)（只存在常數(shù)項(xiàng)v0，a=0），則公式描述的是勻速直線運(yùn)動(dòng)。如果位移s隨時(shí)間t的變化關(guān)系為t的二次函數(shù)（a≠0），則公式描述的是勻變速直線運(yùn)動(dòng)。如果位移s隨時(shí)間t的變化關(guān)系為t的三次及以上函數(shù)，則公式描述的是變變速直線運(yùn)動(dòng)。

撒貝寧

何炅接下來(lái)請(qǐng)嘉賓們思考一個(gè)問(wèn)題：s為位移，t為時(shí)間，當(dāng)s=t3時(shí)，速度v與時(shí)間t的關(guān)系式是什么樣的呢？

沉思一會(huì)兒之后……

王一博這條公式說(shuō)明，在t時(shí)刻時(shí)，s=t3，那么在t加上極短的時(shí)間△t時(shí)，s1=（t+△t）3。

趙露思在△t時(shí)間內(nèi)，位移的變化△s=s1-s，s1=t3+3t2△t+3t△t2+△t3，s=△t3，則△s=3t2△t+3t△t2+△t3，而v=△s/△t，所以v=3t2+3t△t+△t2，

王源因?yàn)椤鱰是一段極短的時(shí)間，所以我們可以將△t近似為0，最后得到式子：v=3t2

何炅嘉賓們太棒啦！

撒貝寧接下來(lái)我們說(shuō)說(shuō)速度與位移的關(guān)系吧！在沒(méi)有時(shí)間條件的時(shí)候，這條關(guān)系式用起來(lái)十分方便。這條式子是：vt2-v02=2as

易烊千璽如何證明這條式子成立呢？

賀峻霖我們可以把式子轉(zhuǎn)化為（vt+v0）（vt-v0）=2as，在式子的左端，vt+v0是中點(diǎn)時(shí)刻速度的兩倍，也就是平均速度的兩倍2v平，vt-v0=at，所以（vt+v0）（vt-v0）=2v平at，v平t等于總位移，所以（vt+v0）（vt-v0）=2v平at=2as，可以從式子的左端推出右端，所以這個(gè)式子成立。因?yàn)檫@個(gè)式子由vt2-v02=2as轉(zhuǎn)化而來(lái)，這個(gè)式子成立，所以vt2-v02=2as也成立。

何炅俊霖同學(xué)的分析很正確！下面就讓我們用這條公式來(lái)解決問(wèn)題吧！請(qǐng)嘉賓們思考，一輛汽車原本以15m/s的速度水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，不遠(yuǎn)處有一個(gè)人，汽車司機(jī)趕緊踩剎車，讓汽車在三秒之內(nèi)停下來(lái)。請(qǐng)問(wèn)汽車在剎車過(guò)程中的位移是多少呢？

鞠婧祎汽車能在三秒之內(nèi)停下來(lái)，也就是在三秒之內(nèi)使速度減小為零。規(guī)定水平向右為正方向，汽車的加速度為（0m/s-15m/s）/3=-5m/s2,加速度大小為5m/s2，方向水平向左

王源接下來(lái)，我們可以用速度與位移的關(guān)系式求出02-152=2·（-5）·s，計(jì)算得出s=22.5m

虞書(shū)欣我們還可以用時(shí)間與位移的關(guān)系式，求出s=15·3+（-5）·32/2=22.5（m）

撒貝寧嘉賓們說(shuō)的真好！

何炅最后我們?cè)賮?lái)說(shuō)說(shuō)中點(diǎn)位移速度吧！中點(diǎn)位移速度指的是在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體位移是總位移一半時(shí)的速度。根據(jù)速度位移公式，我們可以得到①式：v半s2-02=2a·s/2，②式：vt2-v半2=2a·s/2，②式與①式的左右兩端分別相減得到2v半s2=vt2+v02，化簡(jiǎn)得v半s=√[（vt2+v02）/2]

撒貝寧那么問(wèn)題來(lái)啦，中點(diǎn)位移速度和中點(diǎn)時(shí)刻速度，哪個(gè)更大呢？

王一博我記得我們?cè)阡浿茢?shù)學(xué)季時(shí)了解過(guò)平方均值與算數(shù)平均數(shù)的關(guān)系，即√[（a2+b2）/2]≥（a+b）/2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。那么中點(diǎn)位移速度和中點(diǎn)時(shí)刻速度就是初速度v0和末速度vt的平方均值和算術(shù)平均數(shù)，可以得到√[（vt2+v02）/2]≥（vt+v0）/2，當(dāng)且僅當(dāng)vt=v0時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)vt≠v0時(shí)，等號(hào)不成立，即中點(diǎn)位移速度恒大于中點(diǎn)時(shí)刻速度。

肖戰(zhàn)我認(rèn)為我們還可以通過(guò)速度-時(shí)間圖像來(lái)解決。在速度-時(shí)間圖中，梯形高的中點(diǎn)為t/2，梯形的中位線長(zhǎng)為（vt+v0）/2，即中點(diǎn)時(shí)刻速度。用梯形的面積公式可以計(jì)算出，中位線左側(cè)的面積小于右側(cè)的面積，也就是中點(diǎn)時(shí)刻之前的位移小于之后的位移，此時(shí)再作出一條線，使這條線左右兩側(cè)梯形的面積相等，則這條線必定在中位線右側(cè)，且比中位線長(zhǎng)。這條線的長(zhǎng)度就是中點(diǎn)位移速度。綜上中點(diǎn)位移速度恒大于中點(diǎn)時(shí)刻速度。

肖戰(zhàn)

何炅一博和肖戰(zhàn)分析的得很好。一博在分析中提到了當(dāng)且僅當(dāng)vt=v0時(shí)等號(hào)成立，也就是說(shuō)，只有在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，中點(diǎn)位移速度與中點(diǎn)時(shí)刻速度相等。其他任何的勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，中點(diǎn)位移速度恒大于中點(diǎn)時(shí)刻速度。

撒貝寧需要補(bǔ)充的一點(diǎn)是，今天所講的所有公式都只能在分析勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)使用。我們分析公式時(shí)，以勻加速直線運(yùn)動(dòng)為例子，其實(shí)勻減速直線運(yùn)動(dòng)仍然可以推導(dǎo)出這些式子，感興趣的觀眾朋友們可以自己算一算。

何炅今天的節(jié)目就到此結(jié)束了，我們一起了解了勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的速度，時(shí)間，位移關(guān)系。想要了解更多精彩內(nèi)容，敬請(qǐng)期待下一期的--男生女生請(qǐng)就位！我們下期再見(jiàn)！

觀眾們嗚嗚嗚嗚嗚嗚嗚！