論戰(zhàn)小鬼yy作品

這里我們?cè)O(shè)無(wú)限為ω

ω×ω＝ω＾2

(ω＾2)×ω＝ω＾3

ω×ω×ω×ω×ω×ω×ω×ω……×ω＝ω＾ω

(ω＾ω)×y (y＜ω)

(ω＾ω)＾ω＝ω＾ω＾2

(ω＾ω)＾(ω＾2)＝ω＾ω＾ω

ω＾ω＾ω＾ω……＾ω＝ω↑↑ω＝ε0

ε0↑↑ω＝ε1

ε1↑↑ ω＝ε2

ε3↑↑ω＝ε3

照此無(wú)限的向下運(yùn)算知道得到

εω

εω↑↑ω＝ε(ω+1)

ε(ω＋1)↑↑ω＝ε((ω＋1)＋1)

ε((ω＋1)+1)↑↑ω＝ε(((ω+1)+1)+1)

照此向下運(yùn)算，直到

ε(ω↑↑ω)＝εε0＝ε(ε0)

ε(ε0↑↑ω)＝εε1＝ε(ε1)

ε(ε1↑↑ω)＝εε2＝ε(ε2)

以此向下運(yùn)算直到

εεεεεεε……ε0＝ζ0

ζ0↑↑ω＝ζ1

ζ1↑↑ω＝ζ2

以此類推

ζω↑↑ω等于ζ(ω+1)

想必你們一定發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，于是繼續(xù)運(yùn)算到最終

ζζζζζζζ……ζ0＝η0

接下來(lái)以此向后類推無(wú)限個(gè)字母并且作出運(yùn)算

所有非負(fù)數(shù)的加起來(lái)的合是阿列夫零，阿列夫零是無(wú)限大，但阿列夫零無(wú)論如何運(yùn)算都無(wú)法達(dá)到阿列夫1在這之上還有阿列夫二，阿列夫三等等，我們還可以一直迭代下去，直到阿列夫極限數(shù)，他是一個(gè)奇異基數(shù)，也叫阿列夫不動(dòng)點(diǎn)，但就算是阿列夫不動(dòng)點(diǎn)，也始終處于阿列夫的范疇，永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到不可達(dá)基數(shù)的范疇

弱不可達(dá)基數(shù)

弱不可達(dá)基數(shù)是一種正則基數(shù)。既是極限基數(shù)又是正則基數(shù)的不可數(shù)基數(shù)。若N為弱不可達(dá)基數(shù)，則с?(α)＝(α)

，且α是極限序數(shù)。因?yàn)椐鉬(Ν)≤Να，所以Ν≥α

可見(jiàn)N是非常大的。由定義還可看出，不可達(dá)基數(shù)κ不可能由比它小的基數(shù)通過(guò)基數(shù)的加法、乘法、乘冪和取極限等運(yùn)算得到。

強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)

強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)是一種正則基數(shù)。簡(jiǎn)稱不可達(dá)基數(shù)。既是正則的又是強(qiáng)極限的無(wú)窮基數(shù)。即如果正則基數(shù)κ滿足

κ＞N

，且對(duì)任何

λ＜κ

有

2＜κ

κ就是一個(gè)強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)。強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)一定是弱不可達(dá)的。在廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立時(shí)，每個(gè)弱不可達(dá)基數(shù)也是強(qiáng)不可達(dá)的。這時(shí)這兩個(gè)概念是相同的。在ZFC系統(tǒng)中不能證明不可達(dá)基數(shù)的存在性。稱這種基數(shù)為不可達(dá)的原因是它不可能從比它小的基數(shù)出發(fā)，使用通常的集合論運(yùn)算得到。

正則基數(shù)

正則基數(shù)是一種特殊基數(shù)。如果α為極限序數(shù)，且

cf(α)＝α

，則稱α為正則的。正則的基數(shù)稱為正則基數(shù)。不正則的無(wú)窮基數(shù)稱為奇異基數(shù)。由于正則的序數(shù)一定是基數(shù)，故人們對(duì)正則的序數(shù)、正則序數(shù)、正則的基數(shù)和正則基數(shù)這幾個(gè)概念不加區(qū)別地使用。通常也有人將ω稱為正則基數(shù)，將N稱為正則序數(shù)

若對(duì)于任意函數(shù)f:k→k存在a＜k滿足{f(β):β∈a}?a以及在臨界點(diǎn)a存在一個(gè)非平凡初等嵌入j:V→M使得V_j(f)(a)?M，k為武丁基數(shù)；

補(bǔ)充伯克利_club

如果存在伯克利基數(shù)，那么會(huì)有對(duì)力迫擴(kuò)張絕對(duì)性，它使最小的伯克利基數(shù)具有共尾性ω。通過(guò)對(duì)κ施加一定的條件，可以增強(qiáng)伯克利性質(zhì)。

特殊類型的伯克利基數(shù)：

如果κ是正則并且對(duì)所以club→C?κ和所有帶κ傳遞集M∈M有j∈∈(M)的和

假設(shè)M是一個(gè)由ZFC模組組成的非空非空 我們說(shuō)M是一個(gè)負(fù)宇宙，當(dāng)且當(dāng)他僅僅滿足：

可數(shù)化公理

偽良基公理

可實(shí)現(xiàn)公理

力迫擴(kuò)張公理

任何的集合論宇宙V弱α為集合論中的模型，如果可以在V之中定義或解釋的，那么α同樣可以做一個(gè)集合論宇宙。任何的集合論宇宙V中位于V內(nèi)的力迫L，有一個(gè)為V[G]的力迫擴(kuò)張其中G?L為V-generico 對(duì)于任何一個(gè)乃至所有的集合論宇宙存在這一個(gè)更高級(jí)的更高級(jí)的宇宙α并且存在著一個(gè)序數(shù)Y，當(dāng)能滿足α>αY≥V時(shí)對(duì)于所有集合論宇宙V，從另一個(gè)更好的集合論宇宙α是可列的所有非負(fù)數(shù)的加起來(lái)的合是阿列夫零，阿列夫零是無(wú)限大，但阿列夫零無(wú)論如何運(yùn)算都無(wú)法達(dá)到阿列夫1在這之上還有阿列夫二，阿列夫三等等，我們還可以一直迭代下去，直到阿列夫極限數(shù)，他是一個(gè)奇異基數(shù)，也叫阿列夫不動(dòng)點(diǎn)，但就算是阿列夫不動(dòng)點(diǎn)，也始終處于阿列夫的范疇，永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到不可達(dá)基數(shù)的范疇

弱不可達(dá)基數(shù)

弱不可達(dá)基數(shù)是一種正則基數(shù)。既是極限基數(shù)又是正則基數(shù)的不可數(shù)基數(shù)。若N為弱不可達(dá)基數(shù)，則с?(α)＝(α)

，且α是極限序數(shù)。因?yàn)椐鉬(Ν)≤Να，所以Ν≥α

可見(jiàn)N是非常大的。由定義還可看出，不可達(dá)基數(shù)κ不可能由比它小的基數(shù)通過(guò)基數(shù)的加法、乘法、乘冪和取極限等運(yùn)算得到。

強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)

強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)是一種正則基數(shù)。簡(jiǎn)稱不可達(dá)基數(shù)。既是正則的又是強(qiáng)極限的無(wú)窮基數(shù)。即如果正則基數(shù)κ滿足

κ＞N

，且對(duì)任何

λ＜κ

有

2＜κ

κ就是一個(gè)強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)。強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)一定是弱不可達(dá)的。在廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立時(shí)，每個(gè)弱不可達(dá)基數(shù)也是強(qiáng)不可達(dá)的。這時(shí)這兩個(gè)概念是相同的。在ZFC系統(tǒng)中不能證明不可達(dá)基數(shù)的存在性。稱這種基數(shù)為不可達(dá)的原因是它不可能從比它小的基數(shù)出發(fā)，使用通常的集合論運(yùn)算得到。

正則基數(shù)

正則基數(shù)是一種特殊基數(shù)。如果α為極限序數(shù)，且

cf(α)＝α

，則稱α為正則的。正則的基數(shù)稱為正則基數(shù)。不正則的無(wú)窮基數(shù)稱為奇異基數(shù)。由于正則的序數(shù)一定是基數(shù)，故人們對(duì)正則的序數(shù)、正則序數(shù)、正則的基數(shù)和正則基數(shù)這幾個(gè)概念不加區(qū)別地使用。通常也有人將ω稱為正則基數(shù)，將N稱為正則序數(shù)

若對(duì)于任意函數(shù)f:k→k存在a＜k滿足{f(β):β∈a}?a以及在臨界點(diǎn)a存在一個(gè)非平凡初等嵌入j:V→M使得V_j(f)(a)?M，k為武丁基數(shù)；

補(bǔ)充伯克利_club

如果存在伯克利基數(shù)，那么會(huì)有對(duì)力迫擴(kuò)張絕對(duì)性，它使最小的伯克利基數(shù)具有共尾性ω。通過(guò)對(duì)κ施加一定的條件，可以增強(qiáng)伯克利性質(zhì)。

特殊類型的伯克利基數(shù)：

如果κ是正則并且對(duì)所以club→C?κ和所有帶κ傳遞集M∈M有j∈∈(M)的和

假設(shè)M是一個(gè)由ZFC模組組成的非空非空 我們說(shuō)M是一個(gè)負(fù)宇宙，當(dāng)且當(dāng)他僅僅滿足：

可數(shù)化公理

偽良基公理

可實(shí)現(xiàn)公理

力迫擴(kuò)張公理

任何的集合論宇宙V弱α為集合論中的模型，如果可以在V之中定義或解釋的，那么α同樣可以做一個(gè)集合論宇宙。任何的集合論宇宙V中位于V內(nèi)的力迫L，有一個(gè)為V[G]的力迫擴(kuò)張其中G?L為V-generico 對(duì)于任何一個(gè)乃至所有的集合論宇宙存在這一個(gè)更高級(jí)的更高級(jí)的宇宙α并且存在著一個(gè)序數(shù)Y，當(dāng)能滿足α>αY≥V時(shí)對(duì)于所有集合論宇宙V，從另一個(gè)更好的集合論宇宙α是可列的

從其他個(gè)更好的集合論宇宙來(lái)看，所有的集合論

從其他個(gè)更好的集合論宇宙來(lái)看，所有的集合論宇宙V都是ill-founded.的簡(jiǎn)單說(shuō)法存在一個(gè)集合論宇宙V，并且對(duì)任何集合論宇宙β，存在一個(gè)集合論宇宙α已經(jīng)α中的一個(gè)ZFC模型γ，使得在α的眼中，γ是一個(gè)由可數(shù)的非良基ZFC模型，那V便是復(fù)宇宙

在復(fù)宇宙中，沒(méi)有哪個(gè)集合論宇宙是特別的，任何集合論宇宙都存在著比上個(gè)宇宙更好的宇宙并且能看到前者的局限性

邏輯多元:V-邏輯(V-logic),

V-邏輯具有 以下的常元符號(hào):

a表示V的每一 個(gè)集合a

V表示宇宙全體集合容器V

在一階邏輯的推理規(guī)則上添加以下規(guī)則:

vb,bEa, 4(b) FVxEa, 4(x)

Va,bEV, 4(a) FVx∈v, 4(x)

作為寬度完成主義者，我們不能直接談?wù)撏饽Ｐ?，甚至不能談?wù)摬粚儆赩的集合。然而，使用V-邏輯，我們可以間接地談?wù)撍鼈??？紤]V邏輯中的理論，我們不僅有表示V的元素的常元符號(hào)aread-normal-img,和表示V本身的常元符號(hào)V，而且還有一個(gè)常元符號(hào)W來(lái)表示V的“外模型”

我們?cè)黾右韵滦鹿怼?/p>

1.宇宙V是ZFC (或至少是KP,可接受性理論)的一個(gè)模型。

2.W是ZFC的一個(gè)傳遞模型，包含V作為子集，并且與V有相同的序數(shù)。

因此，現(xiàn)在當(dāng)我們采取一個(gè)遵守V-邏輯規(guī)則的公理模型時(shí)，我們會(huì)得到一個(gè)模擬ZFC (或至少 是KP)的宇宙,其中V被正確地解釋為V, w被解釋為V的外模型。請(qǐng)注意，V- 邏輯中的這一理論是在沒(méi)有“加厚"V的情況下提出的，實(shí)際上它是在V+=La(V)內(nèi)定義的。 由于我們采用了高度(而不是寬度)潛在主義，后者又是有意義的。最終我們可以用V-邏輯將|MH轉(zhuǎn)寫為以下形式:假設(shè)P是一個(gè)一階句子， 上述理論連同公理“W滿足P"在V-邏輯中是一致的。那么P在V的一個(gè)內(nèi)模型中成立。

最終我們成功避免了直接談?wù)揤的“增厚”(即“外模型") ，而是談?wù)撚肰-邏輯制定的理論的一致性，并在V+中定義使得滿足寬度潛在主義。在可數(shù)模型上，寬度完成主義和激進(jìn)潛在主義是等效的。通過(guò)V邏輯，我們可以得到V+(V-邏輯+ZFC的模型)也就是邏輯多元，V-邏輯足夠廣 泛，可以包含各種外部。與超宇宙的概念相反，V-邏輯不能化簡(jiǎn)為可數(shù)傳遞模型的集合，因?yàn)閂不需要被認(rèn)為是可數(shù)的。以后我們或許得到V* (任一致的邏輯+ZFC的模型)這種東西

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