1. RtΔBOA中,∠A=90°,tan∠AOB=k,OA=a,過(guò)點(diǎn)B作BA1⊥OB,并過(guò)A1作OA的垂線交于OB，延長(zhǎng)線上于B1.同理，對(duì)點(diǎn)A1與點(diǎn)B1重復(fù)此類操作，得到一系列點(diǎn)Ai,Bi(i=1,2....)

則當(dāng)i=n時(shí),表示OAn的長(zhǎng)度(用k,a有關(guān)的式子表達(dá)出來(lái))

解：以點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn),從而有A(a,0).并有y_OB=kx

令x=a,可以求得B(a,ak)

我們知道y_BA1⊥y_OB?k_BA1·k_OB=-1,(α)而直線BA1又過(guò)點(diǎn)B,從而解得

y_BA1=-(1/k)·x+a·(k2+1)/k

我們記y1=y_BA1,同理有y_i (i≥1)定義為從B_(i-1)到A_i的直線

下證y_n=-(1/k)x+a·(k2+1)?/k

當(dāng)n=1時(shí),已經(jīng)證明

假設(shè)當(dāng)n=s時(shí)，有y_s=-(1/k)x+a(k2+1)?/k成立

只需證y_(s+1)=-(1/k)+a(k2+1)??1/k

令y_s=0,得到與OA延長(zhǎng)線上的一個(gè)坐標(biāo)

A_s (a(k2+1)?,0)

繼而與OB延長(zhǎng)線上的坐標(biāo)為

B_s (a(k2+1)?,a(k2+1)?·k)

此時(shí)y_(s+1)過(guò)M,且同理(α)知k：y_(s+1)=-(1/k),設(shè)y_s+1的截距為b從而有：

-(1/k)·a(k2+1)?+b=a(k2+1)?·k

進(jìn)一步解得

b=a(k2+1)?·(k2+1)/k=a(k2+1)??1/k

從而有

y_(s+1)=-(1/k)x+a(k2+1)??1/k

證畢

于是y_n=-(1/k)x+a(k2+1)?/k

令y_n=0,從而求得OAn=a(k2+1)?

注意：這個(gè)解法我所采用的是解析幾何加數(shù)學(xué)歸納法，不過(guò)這道題利用相似三角形或三角函數(shù)的方法也是可以做的，讀者不妨試一試。