高考數(shù)學(xué)

?集合與簡易邏輯??知識要點

一、知識結(jié)構(gòu):

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三部分：

??

二、知識回顧：

（一）?集合

1.?基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.?集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.?

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為?；

②空集是任何集合的子集，記為?；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果?，同時?，那么A?=?B.

如果?.

[注]：①Z=?{整數(shù)}（√）???Z?={全體整數(shù)}?（×）

②已知集合S?中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.（×）（例：S=N；?A=?，則CsA=?{0}）

③?空集的補集是全集.???????????

④若集合A=集合B，則CBA?=??，?CAB??=??????CS（CAB）=?D?????（?注?：CAB??=??）.

3.?①{（x，y）|xy?=0，x∈R，y∈R}坐標(biāo)軸上的點集.

②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R?二、四象限的點集.????

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}?一、三象限的點集.

[注]：①對方程組解的集合應(yīng)是點集.

例：????解的集合{(2，1)}.

②點集與數(shù)集的交集是?.?（例：A?={(x，y)|?y?=x+1}??B={y|y?=x2+1}??則A∩B?=?）

4.?①n個元素的子集有2n個.??②n個元素的真子集有2n?－1個.???③n個元素的非空真子集有2n－2個.

5.?⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.?否命題?逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.?原命題?逆否命題.

例：①若?應(yīng)是真命題.

解：逆否：a?=?2且?b?=?3，則a+b?=?5，成立，所以此命題為真.

?②???????.

解：逆否：x?+?y?=3?x?=?1或y?=?2.

???,故?是?的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.?例：若?.???

4.?集合運算：交、并、補.

?

5.?主要性質(zhì)和運算律

（1）?包含關(guān)系：?

（2）?等價關(guān)系：?

（3）?集合的運算律：

交換律：????????

結(jié)合律:????????

分配律:.?

0-1律：?

等冪律：?

求補律：A∩CUA=φ??A∪CUA=U?eCUU=φ?eCUφ=U?

反演律：CU(A∩B)=?(CUA)∪(CUB)???CU(A∪B)=?(CUA)∩(CUB)

6.?有限集的元素個數(shù)

定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(?A)規(guī)定?card(φ)?=0.

基本公式：

?

(3)?card(eUA)=?card(U)-?card(A)

?(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

??1.整式不等式的解法

根軸法（零點分段法）

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)?

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

?

?????（自右向左正負(fù)相間）

則不等式?的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號確定.

特例①?一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

?

2.分式不等式的解法

（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項通分化為?>0(或?<0)；??≥0(或?≤0)的形式，

（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）?

3.含絕對值不等式的解法

（1）公式法：?,與?型的不等式的解法.

（2）定義法：用“零點分區(qū)間法”分類討論.

（3）幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

（1）根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

（三）簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“p∨q”?)；p且q(記作“p∧q”?)；非p(記作“┑q”?)?。

3、“或”、??“且”、??“非”的真值判斷

?

（1）“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時為真，其他情況時為假；

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況時為真．

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；??逆命題：若q則p；

否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

?(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

?(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題?逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p?q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p?q且q?p,則稱p是q的充要條件，記為p?q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

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