費(fèi)馬數(shù)

費(fèi)馬數(shù)是以數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名一組自然數(shù)，具有形式： 其中 n 為非負(fù)整數(shù)。若 2n + 1 是素?cái)?shù)，可以得到 n 必須是2的冪。

中文名

費(fèi)馬數(shù)

由 來(lái)

費(fèi)馬于1640年提出

定 義

把( )記為Fn

猜想結(jié)論

也就是說(shuō)F5不是質(zhì)數(shù)

費(fèi)馬素?cái)?shù)正十七邊形三等分角近代三大數(shù)學(xué)難題倍立方問(wèn)題缺8數(shù)最大素?cái)?shù)世界近代三大數(shù)學(xué)難題三大數(shù)學(xué)危機(jī)高斯畫(huà)正十七邊形

?費(fèi)馬數(shù)

費(fèi)馬

費(fèi)馬數(shù)是以數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名一組自然數(shù)，具有形式：

其中 n 為非負(fù)整數(shù)。

若 2n + 1 是素?cái)?shù)，可以得到 n 必須是2的冪。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 為奇數(shù)，則 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (?1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是說(shuō)，所有具有形式 2n + 1 的素?cái)?shù)必然是費(fèi)馬數(shù)，這些素?cái)?shù)稱(chēng)為費(fèi)馬素?cái)?shù)。已知的費(fèi)馬素?cái)?shù)只有 F0 至 F4 五個(gè)。

正文

形如

費(fèi)馬數(shù)

的數(shù)，n≥0。前五個(gè)費(fèi)馬數(shù)是F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,均為素?cái)?shù)。據(jù)此,1640年，法國(guó)數(shù)學(xué)家P.de費(fèi)馬猜想Fn均為素?cái)?shù)，1732年，L.歐拉發(fā)現(xiàn) F5=641×6700417，故費(fèi)馬猜想不真。到目前為止，只知道以上五個(gè)費(fèi)馬數(shù)是素?cái)?shù)。此外，還證明了48個(gè)費(fèi)馬數(shù)是復(fù)合數(shù)。這些復(fù)合數(shù)可以分成三類(lèi)：①當(dāng)n=5,6,7時(shí)，得到了Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式；②當(dāng)n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55，58，63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945時(shí)，只知道Fn的部分素因數(shù)；③當(dāng)n=14時(shí)，只知道F14是復(fù)合數(shù)，但是它們的任何真因數(shù)都不知道。因此，在費(fèi)馬數(shù)列中是否有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，或者是否有無(wú)窮多個(gè)復(fù)合數(shù)，都是未解決的問(wèn)題。自從費(fèi)馬猜想被否定后，有人猜想費(fèi)馬數(shù)列中只有有限個(gè)素?cái)?shù)，這一猜想也未解決。還有一個(gè)未能證明的猜想：費(fèi)馬數(shù)無(wú)平方因子。L.J.沃倫于1967年證明了：如果素?cái)?shù)q滿足q｜Fn，則

費(fèi)馬數(shù)

費(fèi)馬數(shù)有一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)：如①當(dāng)整數(shù) k>0時(shí)，有

費(fèi)馬數(shù)

；②設(shè) n>0，F(xiàn)n是素?cái)?shù)的充分必要條件是

費(fèi)馬數(shù)

；③設(shè) n>1，F(xiàn)n的每一個(gè)素因數(shù)形如

費(fèi)馬數(shù)

。

1801年,C.F.高斯證明了,當(dāng)h＝

費(fèi)馬數(shù)

(0≤n1