數(shù)學(xué)的奧妙

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在所有數(shù)學(xué)符號(hào)之中，圓周率 π 也許是最神秘、最吸引人的了，數(shù)學(xué)家通常認(rèn)為 π 是數(shù)學(xué)中最為重要且最為有趣的常數(shù)。

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π 是希臘語(yǔ)“周長(zhǎng)”（περμετρο）的開(kāi)頭字母。在數(shù)學(xué)中符號(hào) π 代表圓周長(zhǎng)與其直徑的比值。換句話說(shuō)，π 就是把圓的直徑擴(kuò)張成其周長(zhǎng)所需要的倍數(shù)。

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因?yàn)槿藗儾豢赡苤?π 的精確值，所以也永遠(yuǎn)無(wú)法測(cè)量出一個(gè)圓的周長(zhǎng)或面積的真正數(shù)值結(jié)果。π 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，這意味著它的數(shù)字被認(rèn)為是隨機(jī)的順序排列(至今未能證明)。

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圓周率是由古代最偉大的數(shù)學(xué)家之一，錫拉庫(kù)扎的阿基米德 (Archimedes，公元前 287-212 年) 首先透過(guò)正多邊形的幾何算法嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算出來(lái)的。所以有時(shí) π 也被稱作阿基米德常數(shù)。據(jù)說(shuō)阿基米德全神貫注于他的工作，沒(méi)有注意到羅馬士兵已經(jīng)占領(lǐng)了這座希臘城市。當(dāng)一個(gè)羅馬士兵走近他時(shí)，他用希臘語(yǔ)喊道：“不要碰我的圓圈！”。羅馬士兵砍下了他的頭，隨后繼續(xù)前進(jìn)。

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《圣經(jīng)》列王紀(jì)上第 7 章 23 節(jié)就提到了圓周率，在描寫(xiě)所羅門圣殿里的祭壇時(shí)寫(xiě)道：“他又鑄一個(gè)銅海，其高十肘，其徑十肘……其圍三十肘?！庇行W(xué)者解讀為這表示 pi 的值是 3。

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古代數(shù)學(xué)家們嘗試通過(guò)在圓內(nèi)刻畫(huà)出邊數(shù)越來(lái)越多的多邊形來(lái)逼近圓，以計(jì)算出更精確的圓周率值。阿基米德曾使用過(guò)一個(gè) 96 邊形。我國(guó)曹魏時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽先后構(gòu)建出了一個(gè) 192 邊形和一個(gè) 3072 邊形，成功將 pi 值精確到 3.1416。祖沖之在公元 480 年利用割圓術(shù)計(jì)算 12288 形的邊長(zhǎng)，得到 π≈355/113（現(xiàn)在稱為密率），其數(shù)值為 3.141592920。在之后的八百年內(nèi)，這都是準(zhǔn)確度最高的 π 估計(jì)值。

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許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，與其說(shuō)一個(gè)圓沒(méi)有角，不如說(shuō)它有無(wú)限多個(gè)角。

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在《星際迷航：WolfintheFold》一集中，斯波克(Spork)通過(guò)命令超級(jí)計(jì)算機(jī)算出圓周率的最后一位數(shù)值，阻止了這臺(tái)邪惡的計(jì)算機(jī)。

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在卡爾·薩根 (Carl Sagan) 的科幻小說(shuō)《接觸》(Contact) 中，科學(xué)家選用十一進(jìn)制來(lái)解析 π，而當(dāng)計(jì)算到了 10^20 之后，π 就只是一連串 0 和 1，在這里隱藏的是來(lái)自于人類造物主的密碼訊息。

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達(dá)倫·阿羅諾夫斯基（Darren Aronofsky）的驚悚電影《圓周率》之混沌的信仰 (Pi:Faith in Chaos) 描述了主人公如何致力于尋找 π（乃至宇宙）的終極數(shù)學(xué)模式，進(jìn)而陷入瘋魔的故事。這部電影在 1998 年的圣丹斯國(guó)際電影節(jié)上為他獲得了劇情片導(dǎo)演獎(jiǎng)。

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幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，埃及考古學(xué)家和神秘主義追隨者一直癡迷于胡夫金字塔暗藏的圓周率之謎。因?yàn)樵摻鹱炙乃荛L(zhǎng)和高的比例是 1760/280，離 2π 只有小于 0.05%的差距。

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約公元前 1650 年，一位名為阿姆士的埃及書(shū)記官在他所寫(xiě)的《萊因德數(shù)學(xué)紙草書(shū)》(Rhind Mathematical Papyrus) 中收錄了有關(guān) π 的描述，其中還有對(duì) π 的簡(jiǎn)單計(jì)算，所得值為 3.1605。這是已知最早的有關(guān)圓周率的記錄之一，這份記錄與圓周率的近似值 (3.141592) 相差不到 1%。

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在符號(hào)“π”廣泛使用之前，數(shù)學(xué)家們通常要繞著圈子費(fèi)力地描述圓周率。例如稱其為“以徑倍之為周者”(拉丁短語(yǔ)：quantitas, in quam cum multipliectur diameter, proveniet circumferential)，意思是“乘以直徑等于周長(zhǎng)的數(shù)”。

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從數(shù)學(xué)意義上講，pi(π) 這個(gè)符號(hào)從誕生到傳播開(kāi)來(lái)僅有 300 年的歷史。威爾士數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯 1706 年出版的《新數(shù)學(xué)導(dǎo)論》才提出使用字母 π，而后由萊昂哈德·歐拉在其數(shù)學(xué)著作中確立并推廣了 π，于是符號(hào) π 作為圓周率在 18 世紀(jì)開(kāi)始在全球普及使用。

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德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉し丁た埔羵?(Ludolph van Ceulen，1540-1610) 一生中的大部分時(shí)間都在計(jì)算圓周率的前 36 位精確數(shù)字（故而 π 在德國(guó)也被稱為魯?shù)婪驍?shù) Ludolphine Number）。據(jù)傳，這些數(shù)字被刻在他已經(jīng)遺失的墓碑上。

▌16 π 只需四舍五入取到小數(shù)點(diǎn)后第九位，就可以計(jì)算出近乎精確的地球周長(zhǎng)，誤差不超過(guò) 1/4 英寸。利用小數(shù)點(diǎn)后 39 位足以計(jì)算出已知宇宙的周長(zhǎng)，誤差不超過(guò)一個(gè)氫原子的半徑。

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1995 年，日本人友寄英哲記憶圓周率至小數(shù)點(diǎn)后第 42195 位，認(rèn)定為背誦圓周率的吉尼斯世界紀(jì)錄。部分學(xué)者推測(cè)，日語(yǔ)比其他語(yǔ)言更適合記憶數(shù)字序列。此記錄于 2006 年被西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)生呂超打破，他不間斷無(wú)差錯(cuò)背誦圓周率至小數(shù)點(diǎn)后 67890 位。 2015 年 3 月 21 日，印度韋洛爾的拉杰維爾·米納花費(fèi)了 9 小時(shí) 27 分鐘內(nèi)背誦了 7 萬(wàn)個(gè)圓周率的小數(shù)位。

據(jù)英國(guó)《衛(wèi)報(bào)》報(bào)道，還有一位非官方記錄保持者，日本千葉縣的原口證，他在 2005 年錄制了自己背誦圓周率小數(shù)點(diǎn)后 10 萬(wàn)位的視頻，最近更是突破了 11.7 萬(wàn)位。

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圓周率小數(shù)點(diǎn)后前 144 位數(shù)字相加的和是 666。而這個(gè)數(shù)字在西方文化中則表示魔鬼的數(shù)字，因?yàn)樵凇妒ソ?jīng)·啟示錄》中，666 是獸名數(shù)目。

444 則是天使的數(shù)字，因此在西方，444 是吉利的數(shù)字，666 則是視為不吉利的數(shù)字。

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化圓為方(squaring the circle) 這一方法的標(biāo)新立異吸引了眾多數(shù)學(xué)家。傳統(tǒng)觀念中，圓是無(wú)限的、不可估量的、更是精神世界的代表，而正方形代表的卻是精確的、可被測(cè)量的認(rèn)知世界。

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英國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家威廉·山克斯 (William Shanks，1812-1882) 花費(fèi)多年時(shí)間手工計(jì)算到圓周率的小數(shù)點(diǎn)后 707 位。但很遺憾，他在第 527 位之后就犯了一個(gè)錯(cuò)誤，因此，后續(xù)的數(shù)字也都是錯(cuò)誤的。

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16 世紀(jì)之后，π 的計(jì)算開(kāi)始改用無(wú)窮級(jí)數(shù)的計(jì)算方式，微積分創(chuàng)始人之一的艾薩克·牛頓 (Isaac Newton)就曾利用反正弦數(shù)列將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后 15 位小數(shù)。

▌22 1735 年，歐拉解決了著名巴塞爾難題，這個(gè)問(wèn)題難倒了歐洲之前很多著名數(shù)學(xué)家。它要求得是精確計(jì)算所有平方數(shù)倒數(shù)的和為何？歐拉最終發(fā)現(xiàn)了結(jié)果與 π 的奇妙聯(lián)系，并一戰(zhàn)成名。

▌23

1761 年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·海因里?！だ什谜泻瘮?shù)的無(wú)窮連分?jǐn)?shù)表達(dá)式證明了 π 是無(wú)理數(shù)。而 1882 年，數(shù)學(xué)家林德曼證明了 π 為超越數(shù)，因此也證實(shí)化圓為方問(wèn)題僅用尺規(guī)是無(wú)法完成的。

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在 2019 年圓周率日那天，谷歌工程師利用云計(jì)算更是計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后 31.4 萬(wàn)億位，就是 10^13 精度，刷新了一項(xiàng)新的世界記錄。

▌25

在阿爾弗雷德·希區(qū)柯克導(dǎo)演的電影《沖破鐵幕》和奧斯卡影后桑德拉·布洛克主演的《網(wǎng)絡(luò)驚魂》中都將圓周率當(dāng)做重要的密碼在屏幕上出現(xiàn)。

▌26

人類對(duì)圓周率的研究已經(jīng)有近 4000 年的歷史了。公元前 2000 年，巴比倫人確立了 3 又 1/8 或 3.125 的圓周率近似值。古埃及人得出的數(shù)值略有不同，為 3 又 1/7 或 3.143。

▌27

1888 年，印第安納州一個(gè)名為埃德溫·古德溫 (Edwin Goodwin) 的鄉(xiāng)村醫(yī)生相信自己已證明了試圖化圓為方問(wèn)題, 于是想通過(guò)印第安納州議會(huì)來(lái)獲取專利。并且此法案中間接應(yīng)用了圓周率等于 3.2 這一錯(cuò)值。該法案實(shí)際上已經(jīng)全票通過(guò)了印第安納州眾議院的表決(67:0)，但恰巧當(dāng)時(shí)普渡大學(xué)教授 C·A·沃爾多在場(chǎng)旁聽(tīng)了整個(gè)過(guò)程。他當(dāng)時(shí)在旁大吃一驚，于是趕在送交印第安納州參議院前就向議員們普及數(shù)學(xué)知識(shí)，最后此法案被提議無(wú)限期推遲審議。

▌28

π 的前一百萬(wàn)個(gè)數(shù)字位中沒(méi)有出現(xiàn)“123456”這一序列——但出現(xiàn)了八個(gè)“12345”的組合，這八次中有三次后面都緊跟著另一個(gè)“5”?！?12345”這個(gè)序列出現(xiàn)了兩次，每次后面也都緊跟著另一個(gè)“5”。

▌29

圓周率的前一百萬(wàn)小數(shù)位由 99959 個(gè) 0，99758 個(gè) 1，100026 個(gè) 2，100229 個(gè) 3，100230 個(gè) 4，100359 個(gè) 5，99548 個(gè) 6，99800 個(gè) 7，99985 個(gè) 8 和 100106 個(gè) 9 組成。

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17 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)某些曲線面積也可以用圓周率來(lái)表示，例如拱形和圓內(nèi)旋輪線，圓周率進(jìn)而走出圓形，應(yīng)用于其他曲線中。二十世紀(jì)，圓周率已經(jīng)被應(yīng)用于諸如數(shù)論、概率論和混沌理論等多種領(lǐng)域。

▌31 大衛(wèi)·波爾（David Boll）在1991年發(fā)現(xiàn)在曼德博集合分形中也有 π 的出現(xiàn) 。他檢查在曼德博集合在(-0.75,0)位置的特性。若考慮坐標(biāo)在“頸部”(-0.75ε,)的點(diǎn)，而 ε 趨近于零，在發(fā)散之前迭代的次數(shù)和 ε 相乘，會(huì)趨近于 π。若是在右側(cè)尖點(diǎn)處附近的點(diǎn) (0.25,ε) 也會(huì)有類似的特性：在發(fā)散之前迭代的次數(shù)和 (0.25,ε) 的平方根相乘，也會(huì)趨近于π。

▌32

圓周率的前六位數(shù)字 (314159)，在 π 的前 1 千萬(wàn)個(gè)小數(shù)位中至少整體出現(xiàn)了六次。

▌33

每年的 3 月 14 日定為“圓周率日”（因?yàn)樗?3.14）。慶?；顒?dòng)一般會(huì)從下午 1:59 開(kāi)始，日期與時(shí)間共同組合成一個(gè)完整 3.14159。

在 2019 年聯(lián)合國(guó)教科文組織第四十屆大會(huì)上正式宣布每年的 3 月 14 日是“國(guó)際數(shù)學(xué)日”。今年 2020 年的圓周率日為首屆國(guó)際數(shù)學(xué)日。

▌34 阿爾伯特·愛(ài)因斯坦 1879 年 3 月 14 日 (圓周率日) 出生于德國(guó)符騰堡州烏爾姆市。這一天也是英國(guó)宇宙學(xué)家史蒂芬·霍金(2018 年 3 月 14 日)和德國(guó)思想家卡爾·馬克思(1883 年 3 月 14 日)的忌日。

▌35 可以在"我的派日"這個(gè)網(wǎng)站來(lái)找出自己生日在 π 中出現(xiàn)的位置，按照 mm / dd / yy 格式輸入即可。

▌36

有學(xué)者認(rèn)為，人類生來(lái)就是為了發(fā)現(xiàn)這個(gè)世界的運(yùn)行模式，因?yàn)檫@是賦予世界和我們自己存在意義的唯一方式。因此，人們著迷于尋找圓周率中的規(guī)律

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