實數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。數(shù)學上，實數(shù)定義為與數(shù)軸上點相對應的數(shù)。實數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無限小數(shù)，實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數(shù)的整體。實數(shù)和虛數(shù)共同構成復數(shù)。
實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類。實數(shù)集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n維實數(shù)空間。實數(shù)是不可數(shù)的。實數(shù)是實數(shù)理論的核心研究對象。
所有實數(shù)的集合則可稱為實數(shù)系（real number system）或?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數(shù)系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由于R是定義了算數(shù)運算的運算系統(tǒng)，故有實數(shù)系這個名稱。
實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n為正整數(shù)）。在計算機領域，由于計算機只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經(jīng)常用浮點數(shù)來表示
基本介紹
實數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。數(shù)學上，實數(shù)定義為與數(shù)軸上的點相對應的數(shù)。實數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無限小數(shù)，它們能把數(shù)軸“填滿”。但僅僅以列舉的方式不能描述實數(shù)的整體。實數(shù)和虛數(shù)共同構成復數(shù)。
實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n 為正整數(shù)，包括整數(shù)）。在計算機領域，由于計算機只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經(jīng)常用浮點數(shù)來表示。
[1]相反數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)，它們的和為零，我們就說其中一個是另一個的相反數(shù)，叫做互為相反數(shù)） 實數(shù)a的相反數(shù)是-a，a和-a在數(shù)軸上到原點0的距離相等。
[2]絕對值（在數(shù)軸上一個數(shù)a與原點0的距離） 實數(shù)a的絕對值是：|a|
①a為正數(shù)時，|a|=a（不變），a是它本身；
②a為0時， |a|=0，a也是它本身；
③a為負數(shù)時，|a|= -a（為a的絕對值），-a是a的相反數(shù)。
(任何數(shù)的絕對值都大于或等于0，因為距離沒有負數(shù)。)
[3]倒數(shù)（兩個實數(shù)的乘積是1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)） 實數(shù)a的倒數(shù)是：1/a （a≠0）
[4]數(shù)軸
定義：規(guī)定了原點，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸
（1）數(shù)軸的三要素：原點、正方向和單位長度。
（2）數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應。
特別規(guī)定0的算術平方根是根號0
實數(shù)分類
按性質(zhì)分類是：正數(shù)、0、負數(shù)；
按定義分類是：有理數(shù)、無理數(shù)
歷史來源
埃及人早在大約公元前1000年就開始運用分數(shù)了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數(shù)學家們意識到了無理數(shù)存在的必要性。印度人于公元600年左右發(fā)明了負數(shù)，據(jù)說中國也曾發(fā)明負數(shù)，但稍晚于印度。
直到17世紀，實數(shù)才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數(shù)的基礎上發(fā)展起來。直到1871年，德國數(shù)學家康托爾第一次提出了實數(shù)的嚴格定義。實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù)。 數(shù)學上，實數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)。本來實數(shù)僅稱作數(shù)，后來引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實數(shù)”——意義是“實在的數(shù)”。 實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正數(shù)，負數(shù)和零三類。實數(shù)集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 維實數(shù)空間。實數(shù)是不可數(shù)的。實數(shù)是實分析的核心研究對象。 實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n 為正整數(shù)）。在計算機領域，由于計算機只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經(jīng)常用浮點數(shù)來表示。
相關定義
1.實數(shù)由有理數(shù)構造
實數(shù)可以用通過收斂于一個唯一實數(shù)的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數(shù)的補全。實數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構造出來。這里給出其中一種，其他方法請詳見實數(shù)的構造。
2.公理的方法
設 R 是所有實數(shù)的集合，則：
集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。
域 R 是個有序域，即存在全序關系≥ ，對所有實數(shù) x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。
最后一條是區(qū)分實數(shù)和有理數(shù)的關鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5；但是不存在有理數(shù)上確界（因為 √2 不是有理數(shù)）。
實數(shù)通過上述性質(zhì)唯一確定。更準確的說，給定任意兩個有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數(shù)學上兩者可看作是相同的。
相關性質(zhì)
基本運算
實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數(shù)（即正數(shù)和0）還可以進行開方運算。實數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結(jié)果還是實數(shù)。任何實數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實數(shù)，只有非負實數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實數(shù)。
四則運算封閉性
實數(shù)集R對加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是實數(shù)。
實數(shù)集有序性
實數(shù)集是有序的，即任意兩個實數(shù)a、b必定滿足下列三個關系之一：a<b,a=b,a>b.
實數(shù)的傳遞性
實數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.
實數(shù)的阿基米德性
實數(shù)具有阿基米德（Archimedes）性，即對任何a，b ∈R，若b>a>0,則存在正整數(shù)n，使得na>b.
實數(shù)的稠密性
實數(shù)集R具有稠密性，即兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).
實數(shù)唯一性
如果在一條直線（通常為水平直線）上確定O作為原點，指定一個方向為正方向（通常把指向右的方向規(guī)定為正方向），并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實數(shù)都對應與數(shù)軸上的唯一一個點；反之，數(shù)軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數(shù)。于是，實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應的關系。
完備性
作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是個完備空間，它有以下性質(zhì)：
所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。
有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實際上，它有個實數(shù)極限 √2。實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構造實數(shù)集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數(shù)的完備性等價于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。
“完備的有序域”
實數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。
首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會是完備格。這是由于有序域沒有最大元素（對任意元素 z，z + 1 將更大）。所以，這里的“完備”不是完備格的意思。
另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構造實數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）有序域出發(fā)，通過標準的方法建立戴德金完備性。
這兩個完備性的概念都忽略了域的結(jié)構。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。（這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實數(shù)的性質(zhì)。）當然，R 并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見?？梢宰C明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近采用柯西序列來構造實數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）阿基米德域出發(fā)，通過標準的方法建立一致完備性。
“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同于上述的意思。他認為，實數(shù)構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數(shù)來構造實數(shù)的方法，即從某個包含所有（超實數(shù)）有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。
高級性質(zhì)
實數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實數(shù)的個數(shù)嚴格多于自然數(shù)的個數(shù)（盡管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數(shù)集的勢為 2ω（請參見連續(xù)統(tǒng)的勢），即自然數(shù)集的冪集的勢。由于實數(shù)集中只有可數(shù)集個數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實數(shù)是超越數(shù)。實數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴格大于自然數(shù)集的勢且嚴格小于實數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設。該假設不能被證明是否正確，這是因為它和集合論的公理不相關。
所有非負實數(shù)的平方根屬于 R，但這對負數(shù)不成立。這表明 R 上的序是由其代數(shù)結(jié)構確定的。而且，所有奇數(shù)次多項式至少有一個根屬于 R。這兩個性質(zhì)使 R成為實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。
實數(shù)集擁有一個規(guī)范的測度，即勒貝格測度。
實數(shù)集的上確界公理用到了實數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只采用一階邏輯來刻畫實數(shù)集：1. Löwenheim-Skolem定理說明，存在一個實數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數(shù)集自身完全相同的命題；2. 超實數(shù)的集合遠遠大于 R，但也同樣滿足和 R 一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內(nèi)容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在 R 中證明要簡單一些），從而確定這些命題在 R 中也成立。
拓撲性質(zhì)
實數(shù)集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值|x - y|。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這里，從度量和序關系得到的拓撲相同。實數(shù)集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實數(shù)集不是緊致空間。這些可以通過特定的性質(zhì)來確定，例如，無限連續(xù)可分的序拓撲必須和實數(shù)集同胚。以下是實數(shù)的拓撲性質(zhì)總覽：
令 a 為一實數(shù)。a 的鄰域是實數(shù)集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。
R 是可分空間。
Q 在 R 中處處稠密。
R的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。
R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
每個R中的有界序列都有收斂子序列。
R是連通且單連通的。
R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質(zhì)可迅速導出中間值定理。
相關介紹
擴展與一般化
實數(shù)集可以在幾種不同的方面進行擴展和一般化：
最自然的擴展可能就是復數(shù)了。復數(shù)集包含了所有多項式的根。但是，復數(shù)集不是一個有序域。
實數(shù)集擴展的有序域是超實數(shù)的集合，包含無窮小和無窮大。它不是一個阿基米德域。
有時候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實數(shù)集，構成擴展的實數(shù)軸。它是一個緊致空間，而不是一個域，但它保留了許多實數(shù)的性質(zhì)。
希爾伯特空間的自伴隨算子在許多方面一般化實數(shù)集：它們是有序的（盡管不一定全序）、完備的；它們所有的特征值都是實數(shù)；它們構成一個實結(jié)合代數(shù)。
作者大大累死了，明天就國慶了！
作者大大提前祝大家國慶節(jié)快樂！????????????????
作者大大明天雙更??
作者大大呀，都11點了，我去睡覺啦??
作者大大大家明天見(??ω??)??
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