中國歷史古代篇章

孫子算經(jīng)

具有重大意義的是卷下第26題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？答曰：‘二十三’”?！秾O子算經(jīng)》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數(shù)學家秦九韶則進一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研究工作，推廣“物不知數(shù)”的問題。德國數(shù)學家高斯[K.F. Gauss.公元1777-1855年]于公元1801年出版的《算術(shù)探究》中明確地寫出了上述定理。公元1852年，英國基督教士偉烈亞士[Alexander Wylie公元1815-1887年]將《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”問題的解法傳到歐洲，公元1874年馬蒂生[L.Mathiesen]指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數(shù)學史里將這一個定理稱為“中國的剩余定理”[Chinese remainder theorem]。另外還有一道，曰：“巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。三百六十四只碗，看看用盡不差爭。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請問先生明算者，算來寺內(nèi)幾多僧?！?/p>

內(nèi)容簡介

原序

孫子曰：夫算者：天地之經(jīng)緯，群生之園首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表里，五行之準平，四時之終始，萬物之祖宗，六藝之綱記?；簜愔凵?，考二氣之降升，推寒暑之迭運，步遠近之殊同，觀天道精微之兆基，察地理從橫之長短，采神祇之所在，極成敗之符驗。窮道德之理，究性命之情。立規(guī)矩，準方圓，謹法度，約尺丈，立權(quán)衡，平重輕，剖毫厘，析泰絫。歷億載而不朽，施八極而無疆。散之者，富有余；背之者，貧且寠。心開者，幼沖而即悟；意閉者，皓首而難精。夫欲學之者，必務(wù)量能揆己，志在所專，如是，則焉有不成者哉！

全書共分三卷：

上卷

詳細的討論了度量衡的單位和籌算的制度和方法。

度量衡包括長度（度），質(zhì)量（量），體積/容積（衡）。長度的基本單位是蠶吐出的一根絲（直徑為一忽），以上為十進。小的長度單位包括忽，絲，毫，牦，分，寸，尺，丈，引，端（50引）。輔助單位包括匹（40尺），步（6尺），畝（240步。古代以方形周長代面積），里（300步）。

質(zhì)量的基本單位是一顆黍的質(zhì)量，以上是絫，銖，兩（24銖），觔（即斤，16兩），鈞（30斤），石（4鈞）。

體積和容積的基本單位是一顆粟的體積。以上是圭（6粟），撮，抄，勺，合，升，斗，斛。

大數(shù)的名稱，一萬萬為億，以上每一萬倍稱為兆，京，陔，秭，穣，溝，澗，正，載。

圓周率約等于三（周三徑一），根號2約等于1.4（方五斜七）。

以下還記載了白銀，鉛，銅，鐵，玉，石等生產(chǎn)生活和經(jīng)濟生活中常見的物質(zhì)的密度。

??物質(zhì)密度表

物質(zhì)

記載密度

現(xiàn)代測量密度

銀

14兩/立方寸

10.49 g/cm3

玉

11兩/立方寸

3~3.6 g/cm3

銅

7.5兩/立方寸

8.9 g/cm3（純銅。青銅黃銅按比例降低）

鉛

9.5兩/立方寸

11.3437 g/cm3

鐵

7兩/立方寸

7.86 g/cm3

石

3兩/立方寸

~3 g/cm3（各不相同）

收起

籌算在春秋戰(zhàn)國時代已經(jīng)運用，但在古代中國數(shù)學著作如算數(shù)書、九章算術(shù)等書中都不曾記載算籌的使用方法；孫子算經(jīng)第一次詳細地記述籌算的布算規(guī)則：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬相當”，此外又說明用空位表示零。

在進行乘法時，“凡乘之法，重置其位。上下相觀，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之數(shù)列于中位。言十即過，不滿自如。上位乘訖者先去之。下位乘訖者則俱退之。六不積，五不只。土下相乘，至盡則已?！薄秾O子算經(jīng)》明確說明“先識其位”的位值概念，和“逢十進一”的十進位制。

除法法則：“凡除之法：與乘正異乘得在中央，除得在上方，假令六為法，百為實，以六除百，當進之二等，令在正百下。以六除一，則法多而實少，不可除，故當退就十位，以法除實，言一六而折百為四十，故可除。若實多法少，自當百之，不當復退，故或步法十者，置于十百位（頭位有空絕者，法退二位。余法皆如乘時，實有余者，以法命之，以法為母， 實余為子?！保?/p>

在此之后記載了谷物換算成精谷物和米飯的經(jīng)驗比例：粟米打成糲米的體積是五分之三，糲米煮成米飯的體積是二分之五。

第一章的最后是乘法表（從九九八十一開始到一一得一）和每個乘法結(jié)果的乘方表。用表格記載下來如下：——————————————————————————————《孫子算經(jīng)》乘法表

乘法（口訣）

乘法答案的平方

平方約去乘法口訣所在行

8×9=72（八九七十二）

5184

5184÷8=648

7×9=63（七九六十三）

3969

3969÷7=567

…………

…………

…………

1×1=1（一一如一）

1（一乘不長）

-

收起

中卷

主要是關(guān)于分數(shù)的應(yīng)用題，包括面積、體積、等比數(shù)列等計算題，大致都在《九章》中論述的范圍之內(nèi)；

下卷

對后世的影響最為深遠，如下卷第31題即著名的“雞兔同籠”問題，后傳至日本，被改為“鶴龜算”。

今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何？答曰：雉二十 三，兔一十二。

術(shù)曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七，以少減多，再命之，上三 除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。又術(shù)曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

算法譯文：第一行放好頭的數(shù)目，第二行放好腳的數(shù)目。將腳的數(shù)目除以二，得四十七。以較少的頭數(shù)減較多的”腳數(shù)的一半“，得十二（現(xiàn)在我們知道這就是兔的數(shù)目），將第一行的算籌數(shù)目根據(jù)第二行得出的數(shù)目依次取去，即得雞的數(shù)目。

另一種算法是：第一行放頭的數(shù)目，第二行放腳的數(shù)目，將腳的數(shù)目除以二，從腳的數(shù)目的一半減去頭的數(shù)目，再從頭的數(shù)目減去剛才所獲得的結(jié)果，即得雞的數(shù)目。

下卷27題則是”雞兔同籠“的一種推廣。即使是頭多于一個的奇異生物也能計算它們的數(shù)量。

今有獸，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足。問：禽、獸各幾何？答曰：八獸、七禽。

術(shù)曰：倍足以減首，余半之，即獸；以四乘獸，減足，余半之，即禽。

算法譯文：將腳的總數(shù)乘以二，減去頭的數(shù)目，差除以二，得到獸的數(shù)目。將獸的數(shù)目乘以四，減去腳的數(shù)目，除以二，得到禽的數(shù)目。

下卷第28題“物不知數(shù)”為后來的“大衍求一術(shù)”的起源，被看作是中國數(shù)學史上最有創(chuàng)造性地成就之一，稱為中國余數(shù)定理：今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二。問：物幾 何？答曰：二十三。

術(shù)曰：三三數(shù)之，剩二，置一百四十；五五數(shù)之，剩三，置六十三；七七數(shù)之，剩二 ，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之，剩一，則置七十 ；五五數(shù)之，剩一，則置二十一；七七數(shù)之，剩一，則置十五。一百六以上，以一百五 減之，即得。

下卷最后一題還提供了一種卜算胎兒性別的”方法“，頗有些現(xiàn)代”校驗算法“的旨趣，一并記之如下：

今有孕婦，行年二十九歲。難九月，未知所生？答曰：生男。

術(shù)曰：置四十九加難月，減行年，所余以天除一，地除二，人除三，四時除四，五行除五，六律除六，七星除七，八風除八，九州除九。其不盡者，奇則為男，耦則為女。

算法譯文：基數(shù)七七四十九，加上孕婦的孕期（九月，得五十八），減去孕婦的年齡（二十九，得二十九）。計算結(jié)果連續(xù)除以一到九的整數(shù)。如果最后余數(shù)的和是奇數(shù)就是生男，偶數(shù)就是生女。本例的結(jié)果是0、1、2、1、4、5、1、5、2，和為21，所以孕婦生的是男孩。

《孫子算經(jīng)》有新加坡大學數(shù)學教授藍麗蓉的英譯本。

社會影響

孫子算經(jīng)，中國南北朝數(shù)術(shù)著作，《算經(jīng)十書》之一。

剩余定理

在我國古代勞動人民中，長期流傳著“隔墻算”、“剪管術(shù)”、“秦王暗點兵”等數(shù)學游戲。有一首“孫子歌”，甚至遠渡重洋，輸入日本：

“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

七子團圓正半月，除百零五便得知。”

這些饒有趣味的數(shù)學游戲，以各種不同形式，介紹世界聞名的“孫子問題”的解法，通俗地反映了中國古代數(shù)學一項卓越的成就?！皩O子問題”在現(xiàn)代數(shù)論中是一個一次同余問題，它最早出現(xiàn)在我國公元四世紀的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中。《孫子算經(jīng)》卷下“物不知數(shù)”題說：有物不知其數(shù)，三個一數(shù)余二，五個一數(shù)余三，七個一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何？顯然，這相當于求不定方程組

N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2

的正整數(shù)解N，或用現(xiàn)代數(shù)論符號表示，等價干解下列的一次同余組。

N=2(mod3);N=3(mod5);N=2(mod7)

《孫子算經(jīng)》所給答案是N=23。由于孫子問題數(shù)據(jù)比較簡單，這個答數(shù)通過試算也可以得到。但是《孫子算經(jīng)》并不是這樣做的。“物不知數(shù)”題的術(shù)文指出解題的方法多三三數(shù)之，取數(shù)七十，與余數(shù)二相乘；五五數(shù)之，取數(shù)二十一，與余數(shù)三相乘；七七數(shù)之，取數(shù)十五，與余數(shù)二相乘。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù)。列成算式就是：

N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。

這里105是模數(shù)3、5、7的最小公倍數(shù)，容易看出，《孫子算經(jīng)》給出的是符合條件的最小正整數(shù)。對于一般余數(shù)的情形，《孫子算經(jīng)》術(shù)文指出，只要把上述算法中的余數(shù)2、3、2分別換成新的余數(shù)就行了。以R1、R2、R3表示這些余數(shù)，那么《孫子算經(jīng)》相當于給出公式

N=70×R1+21×R2+15×R3－P×105（p是整數(shù)）。

孫子算法的關(guān)鍵，在于70、21和15這三個數(shù)的確定。后來流傳的《孫子歌》中所說“七十稀”、“廿一技”和“正半月”，就是暗指這三個關(guān)鍵的數(shù)字?！秾O子算經(jīng)》沒有說明這三個數(shù)的來歷。實際上，它們具有如下特性：

也就是說，這三個數(shù)可以從最小公倍數(shù)M=3×5×7=105中各約去模數(shù)3、5、7后，再分別乘以整數(shù)2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整數(shù)Ki（i=1，2，3）的選取使所得到的三數(shù)70、21、15被相應(yīng)模數(shù)相除的時候余數(shù)都是1。由此出發(fā)，立即可以推出，在余數(shù)是R1、R2、R3的情況下的情況。

應(yīng)用上述推理，可以完全類似地把孫子算法推廣到一般情形：設(shè)有一數(shù)N，分別被兩兩互素的幾個數(shù)a1、a2、……an相除得余數(shù)R1、R2、……Rn，即

N≡Ri（mod ai）（i=1、2、……n），

只需求出一組數(shù)K，使?jié)M足

1（mod ai）（i=1、2、……n），

那么適合已給一次同余組的最小正數(shù)解是

（P是整數(shù)，M=a1×a2×……×an），

這就是現(xiàn)代數(shù)論中著名的剩余定理。如上所說，它的基本形式已經(jīng)包含在《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題的解法之中。不過《孫子算經(jīng)》沒有明確地表述這個一般的定理。

孫子問題出現(xiàn)在公元四世紀的中國算書中，這并不是偶然的。我國古代天文歷法資料表明，一次同余問題的研究，明顯地受到天文、歷法需要的推動，特別是和古代歷法中所謂“上元積年”的計算密切相關(guān)。大家知道，一部歷法，需要規(guī)定一個起算時間，我國古代歷算家把這個起點叫做“歷元”或“上元”，并且把從歷元到編歷年所累積的時間叫做“上元積年”。上元積年的推算需要求解一組一次同余式。以公元三世紀三國時期魏國施行的《景初歷》做例，這部歷法規(guī)定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零時會合的時刻作為歷元。設(shè)a是一回歸年日數(shù)，b是一朔望月日數(shù)，當年冬至距甲子日零時是R1日，離平朔時刻是R2日，那么《景初歷》上元積元數(shù)N就是同余組的解。

aN≡Ri（mod 60）≡R2（mod b）

到了南北朝時期，祖沖之《大明歷》（公元462年）更要求歷元必須同時是甲子年的開始，而且“日月合璧”、“五星聯(lián)珠”（就是日、月、五大行星處在同一方位），月亮又恰好行經(jīng)它的近地點和升交點。這樣的條件下推算上元積年，就相當于要求解十個同余式了。天文歷法數(shù)據(jù)一般又都十分龐雜，所以，在《孫子算經(jīng)》成書前后的魏晉南北朝時期，我國的天文歷算家無疑已經(jīng)能夠求解形式比《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題復雜得多的一次同余式，因而必定掌握了按一定程序計算一次同余式的方法?！秾O子算經(jīng)》比例題的形式總結(jié)、反映了這一事實。以后天文歷算家長期沿用孫子算法推算上元積年，這中間肯定會引起更加深入的探討。到公元十三世紀，大數(shù)學家秦九韶集前法之大成，終于在一次同余式的研究上獲得了超越前人的輝煌成果。

秦九韶，字道古，生活于南宋時期，自幼喜好數(shù)學，經(jīng)過長期積累和苦心鉆研，干公元1247年寫成《數(shù)書九章》。這部中世紀的數(shù)學杰作，在許多方面都有創(chuàng)造，其中求解一次同余組的“大衍求一術(shù)”和求高次方程數(shù)值解的“正負開方術(shù)”，更是具有世界意義的成就。

這里主要介紹秦九韶對一次同余論的偉大貢獻。

秦九韶在《數(shù)書九章》中明確地系統(tǒng)地敘述了求解一次同余組

的一般計算步驟。秦的方法，正是前述的剩余定理。我們知道，剩余定理把一般的一次同余問題歸結(jié)為滿足條件的一組數(shù)Ki，的選定。秦九韶給這些數(shù)起名叫“乘率”，并且在《數(shù)書九章》卷一“大衍總術(shù)”中詳載了計算乘率的方法——“大衍求一術(shù)”。

為了介紹“大衍求一術(shù)”，我們以任一乘率ki的計算作例。如果Gi=＞ai，秦九韶首先令ai除Gi，求得余數(shù)gi

Gi≡gi（mod ai），

于是 kiGi≡Kigi（mod ai），

但是因為 kiGi≡1（mod ai），

所以問題歸結(jié)為求ki使適合kigi≡1（mod ai）。秦九韶把ai叫“定數(shù)”，gi叫“奇數(shù)”，他的“大衍求一術(shù)”，用現(xiàn)代語言解釋，實際就是把奇數(shù)gi和定數(shù)ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼得商數(shù)q1、q2、……qn和余數(shù)r1、r2、……rn，在輾轉(zhuǎn)相除的時候，隨即算出下面右列的c值：

秦九韶指出，當rn=1而n是偶數(shù)的時候，最后得到的cn就是所求乘率ki。如果rn=1而n是奇數(shù)，那么把rn－1和rn相除，形式上令qn+1=rn-1－1，那么余數(shù)rn+1仍舊是1，再作cn+1=qn+1cn+cn-1,qn+1=rn-1-1是偶數(shù)，cn+1就是所求的ki。不論哪種情形，最后一步都出現(xiàn)余數(shù)1，整個計算到此終止，秦九韶因此把他的方法叫做“求一術(shù)”（至于“大衍”的意思，秦九韶本人在《數(shù)書九章》序中把它和《周易》“大衍之數(shù)”相附會）?？梢宰C明，秦九韶這一算法是完全正確，十分嚴密的。

在秦九韶那個時代，計算仍然使用算籌。秦九韶在一個小方盤上，右上布置奇數(shù)g，右下布置定數(shù)a，左上置1（他叫它做“天元1”），然后在右行上下交互以少除多，所得商數(shù)和左上（或下）相乘并入左下（或上），直到右上方出現(xiàn)1為止。下頁就是秦九韶的一般籌算圖式，右邊是一個數(shù)字例子（g=20，a=27，K=C4=23）。

秦九韶在《數(shù)書九章》中采集了大量例題，如“古歷會積”、“積尺尋源”、“推計土功”、“程行計地”等等，廣泛應(yīng)用大衍求一術(shù)來解決歷法、工程、賦役和軍旅等實際問題。在這些實際問題中，模數(shù)ai并不總是兩兩互素的整數(shù)。秦九韶區(qū)分了“元數(shù)”（ai是整數(shù)）、“收數(shù)”（ai是小數(shù)）、“通數(shù)”（ai是分數(shù)）等不同情形，并且對每種情形給出了處理方法?！按笱芸傂g(shù)”把“收數(shù)”和“通數(shù)”化成“元數(shù)”的情形來計算，而對于元數(shù)不兩兩互素的情形，給出了可靠的程序，適當選取那些元數(shù)的因子作定數(shù)而把問題歸結(jié)為兩兩互素的情形。所有這些系統(tǒng)的理論，周密的考慮，即使以今天的眼光看來也很不簡單，充分顯示了秦九韶高超的數(shù)學水平和計算技巧。秦九韶小時曾跟隨他父親到南宋京城杭州，向太史局（主管天文歷法的機構(gòu)）的官員學習天文歷法，“大衍求一術(shù)”很可能就是他總結(jié)天文歷法計算上元積年方法的結(jié)果。但是“大衍求一術(shù)”似乎沒有為他同時代的人所充分理解。明中葉以后幾乎失傳。一直到清代，“大衍求一術(shù)”又重新被發(fā)掘出來，引起了許多學者（張敦仁、李銳、駱騰鳳、黃宗憲等）的興趣。他們對“大衍求一術(shù)”進行了解釋、改進和簡化，其中黃宗憲《求一術(shù)通解》對模數(shù)非兩兩互素的情形給出了更加簡明的方法，但是時代已是晚清。

從《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題到秦九韶的“大衍求一術(shù)”，古代中國數(shù)學家對一次同余式的研究，不僅在中國數(shù)學史上而且在世界數(shù)學史上占有光榮的地位。在歐洲，最早接觸一次同余式的，是和秦九韶同時代的意大利數(shù)學家裴波那契（1170—1250），他在《算法之書》中給出了兩個一次同余問題，但是沒有一般的算法。這兩個問題從形式到數(shù)據(jù)都和孫子物不知數(shù)題相仿，整個水平?jīng)]有超過《孫子算經(jīng)》。直到十八、十九世紀，大數(shù)學家歐拉（1707—1783）于公元1743年、高斯（1777—1855）于公元1801年對一般一次同余式進行了詳細研究，才重新獲得和秦九韶“大衍求一術(shù)”相同的定理，并且對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴格證明。歐拉和高斯事先并不知道中國人的工作。公元1852年英國傳教士偉烈亞力（1815—1887）發(fā)表《中國科學摘記》，介紹了《孫子算經(jīng)》物不知數(shù)題和秦九韶的解法，引起了歐洲學者的重視。1876年，德國馬蒂生（1830—1906）首先指出孫子問題的解法和高斯方法一致，當時德國著名數(shù)學史家康托（1829—1920）看到馬蒂生的文章以后，高度評價了“大衍術(shù)”，并且稱贊發(fā)現(xiàn)這一方法的中國數(shù)學家是“最幸運的天才”。直到今天，“大衍求一術(shù)”仍然引起西方數(shù)學史家濃厚的研究興趣。如1973年，美國出版的一部數(shù)學史專著《十三世紀的中國數(shù)學》中，系統(tǒng)介紹了中國學者在一次同余論方面的成就，作者力勃雷希（比利時人）在評論秦九韶的貢獻的時候說道：“秦九韶在不定分析方面的著作時代頗早，考慮到這一點，我們就會看到，薩頓稱秦九韶為‘他那個民族、他那個時代、并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學家之一’，是毫不夸張的?！?/p>

印度學者對一次同余論也有過重要貢獻。從公元六世紀到十二世紀，他們發(fā)展了一種稱為“庫塔卡”的算法，用來求解和一次同余式等價的不定方程組?！皫焖ā狈ǔ霈F(xiàn)在孫子算法之后，印度數(shù)學家婆羅門復多（七世紀）、摩柯吠羅（九世紀）等人的著作中，都有和物不知數(shù)題相同的一次同余問題。這當然不是要借此斷言“庫塔卡”法一定受到了孫子算法的影響，但是有人（如萬海依等）硬說中自的“大衍求一術(shù)”來源于“庫塔卡”，就是毫無根據(jù)的妄說了。萬海依居然把中國算法中數(shù)碼從左到右橫寫作為“大衍術(shù)”受印度影響的重要根據(jù)。大家知道，中國古代至遲從春秋戰(zhàn)國時期就開始使用算籌記數(shù)，我們今天還可以從現(xiàn)存的公元前三世紀的貨幣上看到這種從左到右的記數(shù)方法。由此可見，萬海依的論點多么荒唐可笑。中國古代數(shù)學家對一次同余論的研究有明顯的獨創(chuàng)性和繼承性，“大衍求一術(shù)”在世界數(shù)學史上的崇高地位是毋容置疑的，正因為這樣，在西方數(shù)學史著作中，一直公正地稱求解一次同余組的剩余定理為“中國剩余定理”。

蕩杯問題

在中國古算書中，《孫子算經(jīng)》一直在我國數(shù)史占有重要的地位，其中的“盈不足術(shù)”、“蕩杯問題”等都有著許多有趣而又不乏技巧算術(shù)程式。

孫子算經(jīng).卷下第十七問給我們描述的就是著名的“蕩杯問題”的程式。題曰：“今有婦人河上蕩杯。津吏問曰：‘杯何以多？’婦人曰：‘有客?！蚶粼唬骸蛶缀?？’婦人曰：‘二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客幾何？”

很明顯，這里告訴我們這次洗碗事件，要處理的是65個碗共有多少人的問題。其中有能了解客數(shù)的信息是2人共碗飯，3人共碗羹，4人共碗肉。通過這幾個數(shù)值，很自然就能解決客數(shù)問題。因為客數(shù)是固定值，因此將其列成今式為N/2+N/3+N/4=65，易得客數(shù)六十人。

而該題的解法與今解如出一轍，其有“術(shù)曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”可證。

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