8.全集與補(bǔ)集

①全集：所研究對(duì)象的全體所構(gòu)成的集合，稱(chēng)為全集，用“∪”“I”“R”等表示［所給定的原集］。

②補(bǔ)集：

定義：在全集(∪)的子集A中，除子集(A)中所有元素外的其他元素所組成的集合叫此集合A在全集∪中的補(bǔ)集，記作CuA

9.交集與并集兩個(gè)

①并集:

A.定義：兩個(gè)或多個(gè)集合中的所有元素(重合的元素寫(xiě)成一個(gè)）組成新的集合叫這兩個(gè)(或多個(gè))集合的并集。

B.表示：A∪B，“∪”并集符號(hào)

A∪B=｛xlx∈A或x∈B｝

②交集：

A.定義：兩個(gè)或多個(gè)集合中的相同元素，重新組合一個(gè)新的集合叫這兩個(gè)（或多個(gè)）集合的交集。

B.表示：A∩B“∩”交集符號(hào)

A∩B=｛xlx∈A且x∈B｝

③兩個(gè)運(yùn)算公式

（CuA）∪（CuB）=Cu（A∩B）

（CuA）∩（CuB）=Cu（A∪B）

條件與量詞

1.命題

①定義：判斷一件事情的真假的陳述句叫命題。

②組成：由條件（題設(shè)）與結(jié)論兩部分組成。

③種類(lèi)：一般為真命題和假命題。

④否定命題：也叫非命題，將一個(gè)命題的條件不變而結(jié)論加以否定的命題叫這個(gè)命題的否定命題，即非命題。

2.條件：

有兩個(gè)命題p和q

①若p→q，但q≠p，則把p叫q的充分但不必要條件。

②若p≠q，但q→p，則把p叫q的必要但不充分條件。

③若p→q，且q→p，則p，q互為充分并且必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)“充要條件”。

④若p≠q且q≠p，則p，q互為不充分也不必要條件。

［注意：在數(shù)學(xué)中，大≠小，而小→大，例.p：x＞3 q：x＞-1，則p→q但q≠p］

3.全稱(chēng)量詞與存在量詞：

①全稱(chēng)量詞：

A.定義：把含有所有，全部，一個(gè)都不能少，任意一個(gè)，等詞語(yǔ)稱(chēng)全稱(chēng)量詞。

B.表示：例如.對(duì)于任意x∈R，x2+3≥0恒成立，記作Vx∈R，x2+3≥0恒成立。（打不出來(lái)符號(hào)，暫時(shí)把∨當(dāng)做是全稱(chēng)量詞符號(hào)）

②存在量詞：

A.定義：把含有，有幾個(gè)，一些，至少一個(gè)但不是全部，有一部分，等詞語(yǔ)稱(chēng)存在量詞。

B.表示：“E”表示（實(shí)際上的存在符號(hào)是把E反過(guò)來(lái)了，三l，大概這種，大家將就看吧）例如，存在實(shí)數(shù)2x+3≥0成立，記作Ex使2x+3≥0成立。

③量詞在命題與非命題中轉(zhuǎn)化

在命題與非命題中：條件上的∨與E必須相互轉(zhuǎn)換。

例如p：∨x∈N，則2x-3≤0 一lp（請(qǐng)把這個(gè)符號(hào)當(dāng)成否定）

Ex∈N，則2x-3≤0

1.不等式

①定義：含有不等號(hào)的式子稱(chēng)為不等式（≠，≥，＞，≤，＜）。

②種類(lèi)：

A.按元分類(lèi)

a.一元不等式

b.二元不等式

c.多元不等式

B.按不等號(hào)的性質(zhì)

a.絕對(duì)x2+1＞0

b.條件Ex∈R使2x-3＞0

c.不矛盾x＞2，且x＜1

C.其他

a.基本不等式（均值不等式）

b.柯西不等式

c.其他不等式

2.不等式的基本性質(zhì)

①若a＞b，則a±c＞b±c。

②若a＞b，C＞0。

則a·c＞b·c【a/c＞b/c】。

若c＜0，則a·c＜b·c【a/c＜b/c】。

③傳遞性：若a＞b，b＞c則b＞c。

④可倒性：若a·b＞0［a，b同號(hào)］。

a＞b則1/a＜1/b。

⑤同向可加性：若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d。

［注意：只有同向可加性，無(wú)同向可減性。］

⑥同向可乘性，若a＞b＞0，c＞d＞0，則a·c＞b·d。

［只有同向可乘性，無(wú)同向可除性。］

⑦可乘方性，若a，b∈R+，n∈R+

則an（次方）＞bn（次方）

⑧可開(kāi)方性，若a，b∈R+，n∈R+，a＞b則a1/n（次方）b＞b1/n（次方）/（n√a＞n√b）。

3.利用不等式性質(zhì)判斷大小

①作差法：

若A＞B＞0→A＞B

A-B=0→A=B

A-B＜B→A＜B

②作商法：若A·B＞0

當(dāng)A·B∈R+

A/B＞1→A＞B

A/B=1→A=B

A/B＜1→A＜B

當(dāng)A·B∈R-

A/B＞1→A＜B

A/B=1→A=B

A/B＜1→A＞B

③插入特殊比值比較法

插入特殊值0，1，-1進(jìn)行比較大小。

基本不等式

1.兩個(gè)平均值

①算術(shù)平均值：把一組實(shí)數(shù)：a1，a2，a3…an，

形如a1+a2+a3…+an形式叫實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值。

②幾何平均值：把一組正實(shí)數(shù)a1，a2，a3…an，

形如：n√a1，a2，a3…an，形式叫這組正實(shí)數(shù)的幾何平均值。

2.基本不等式【均值不等式】：

①定義：一組正實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…an的算術(shù)平均值與幾何不均值之間的不等式叫基本不等式（均值不等式）。

②不等式條件：一組正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值。

二維：a·b∈R+，則a+b≥2√ab

三維：a·b·c∈R+，則a+b+c≥3 3√abc

③成立條件：

“一正，二定，三相等”

一正：指各數(shù)必須為正實(shí)數(shù)。

二定：指，和定（和為定值）積（乘積）最大。

積定（積為定值）和（相加）最小。

a·b∈R+，當(dāng)a+b=m→定值，則ab有max=㎡/4。

a·b∈R+，當(dāng)a·b=n→定值，則a+b有min=2√n。

三相等：指當(dāng)且僅當(dāng)，這些數(shù)都相等時(shí)才出現(xiàn)最值。

（例如：a+b（a＞0，b＞0）≥2√ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b取最小值）

④幾個(gè)推論公式

A：a·b∈R，a2+b2≥2ab，a2+b2-2ab=（a-b）2≥0

∴a+b≥2√n

B.a·b∈R+

（1）ab≤（a+b）2/4

（2）2/（1/a+1/b）≤√ab≤（a+b）/2≤√（a2+b）/2（分母2也在根號(hào)里面）

（3）b/a+a/b≥2