梅秋月，告訴你個好消息，今天你可以和林烏山玩Cosplay了！

梅秋月哇～！我們還有這種戲份嗎？

當(dāng)然，不然你們兩個怎么發(fā)展？

梅秋月（臉紅）嗯……

（看來經(jīng)過這兩章你們真的有所發(fā)展啊，我很欣慰=D）

好了，辦正事！

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林烏山估計很多人，包括我看到這三個毫無關(guān)聯(lián)的問題湊在一起作本章標(biāo)題時都一頭霧水。所以，我們得好好講個故事了……

梅秋月好呀好呀！我喜歡聽故事！

林烏山某個寒冷的冬天，作者在為考CSP做準(zhǔn)備。

林烏山這時他練到一道題，題目是這樣的……——梅秋月，換下衣服，Cosplay段來了。腳本給你……

梅秋月好。（開始換衣服）

林烏山（大飽眼福）

梅秋月（突然意識到問題）（一下子臉漲得通紅）（遮住關(guān)鍵部位）誒誒誒，林烏山，你別在這時候看著我??！羞死人了！

林烏山?。颗叮瑢Σ黄?，我這就扭頭（偷笑）

梅秋月真是的！女孩子換衣服你也不躲著點?。ㄉ鷼猓?/p>

林烏山是我的不對咯～?

（其實現(xiàn)在很難辦，因為原題中是一位公主出了一道難題，誰能解出這道難題，她就嫁給誰：公主站在邊長為2^n格的正方形網(wǎng)格中的一格中，用面積三格的L形地毯鋪滿除公主所在位置的所有網(wǎng)格。這我哪知道怎么讓他們演啊?。?/p>

（不過我會盡力的）

林烏山——微臣林烏山覲見公主殿下。

梅秋月平身。

梅秋月——林烏山，今日你來此地，想必是要解我的難題。你若解出，我便情愿以身相許；若解不出，浪費我的時間，該當(dāng)何罪？

林烏山請殿下放心，我雖不察萬物之理，卻也可解那難題。請殿下明示！

梅秋月……善。其問：今有正矩網(wǎng)，方二之?dāng)?shù)次方尺，余立其中某處。又有無數(shù)方毯，徑二尺，今皆去其一角，所棄者亦悉矩也，而其徑一尺。若以此闕方毯覆正矩網(wǎng)于余之余，問何以布之？

林烏山……此問變數(shù)頗多，常人不能解之。然「徑二之?dāng)?shù)次方」一事甚怪。此中必有蹊蹺。

林烏山無論殿下立何處，作矩網(wǎng)兩組對邊中點之連線，縱者名之「經(jīng)」，橫者名之「緯」，四方分之，殿下必于一方，余三方遂空虛，空虛則以一闕方毯覆三方相接處之三格。

林烏山徑既為二之?dāng)?shù)次方，則緣「經(jīng)」「緯」二線割其網(wǎng)，定能使四方全等。此時其問不變，而數(shù)量增，規(guī)模降。復(fù)用此法，即得其解。是謂「遞歸」。

梅秋月甚好。君子一言，駟馬難追，我就按照約定……

梅秋月（反應(yīng)過來）（瞬間變得難為情）

梅秋月什么嘛！作者是故意的吧！

林烏山嗯？怎么了？讓我看看腳本……我的天吶！還有這種好事！

梅秋月（生氣）你說什么？！

林烏山（一把抱過來）（貼得很近）（一字一句）我說，還有這種好事嗎？

梅秋月（害羞）你、你真的想……？

林烏山（堅定）對呀！

梅秋月（一把推開）……不行不行，現(xiàn)在還是太早了！我想……總之，你懂的！

林烏山唉。道阻且長?。?/p>

林烏山——說正事。不知道你有沒有想過，根據(jù)「臣」的解法，在「數(shù)次方」是n次方時，如果要用f（n）塊地毯，那么f（n）的解析式是什么呢？

梅秋月??？……這我怎么會知道呢！

林烏山別剛開始就退縮嘛。想想看，這里有什么等量關(guān)系？

梅秋月嗯……所用地毯數(shù)y=網(wǎng)格總有效面積x/每塊地毯的面積3？

林烏山真不錯！一下子就找到了問題所在！

林烏山——那么，把x用n表示出來吧？

梅秋月這樣的話，就是y=（（2^2n） -1）/3吧？

林烏山很好。根據(jù)問題的實際意義，我們直覺認(rèn)識到，（（2^2n）-1）/3是自然數(shù)?？墒菑拇鷶?shù)角度上看，我們?nèi)绾巫C明呢？

梅秋月嗯……完全不知道呀！林烏山，你快說出來吧，別賣關(guān)子啦！

林烏山……

林烏山這不是得培養(yǎng)你獨立思考的能力嘛。——好吧，我們先讓n=0，這時立刻得到原式=0；n=1，立刻得到原式=1；n=2，原式=5；n=4……就不太好算了。不過，梅秋月，我給你提個特別的要求，你可以把n是0到3時，n、原式的分子、分母以及結(jié)果用二進制表示嗎？

梅秋月這個我可以的！

梅秋月——n=（0）?，原式=（0/11）?=（0）?；

梅秋月n=（1）?，原式=（11/11）?=（1）?；

梅秋月n=（10）?，原式=（1111/11）?=（101）?；

梅秋月n=（11）?，原式=（111111/11）?=（10101）?；

梅秋月——好神奇！為什么每個分子都有2m個1呢？

林烏山對啊，為什么呢～?

梅秋月不是叫你不要賣關(guān)子了嘛?。ù颍?/p>

林烏山疼！輕點！——換個話題，我們說說作者吧。其實這堆問題都是作者拋給我們的，他還因為自己解決了這個問題而自鳴得意呢！

梅秋月?。孔髡咭睬纷崃四兀。ㄉ鷼猓?/p>

林烏山——別急，除我之外所有人都帥不過三秒，他自以為重要的發(fā)現(xiàn)早就普遍到了被扔進練習(xí)冊的程度！

梅秋月……這還差不多。等等，剛才那句為什么除了你？

林烏山呃……總之正事要緊！根據(jù)作者的練習(xí)冊，舉個例子，當(dāng)n=4時，我們可以作（（2^8）-1）的變換為2^8+2^6+2^4+2^2-2^6-2^4-2^2-1。這堆東西看著比原式麻煩得多，所以你不要想著展開算，不過可以試試因式分解。

林烏山——呃，說這么多項有點累，今規(guī)定sum(int a,int b,string fx,char c='i')=Σ（i=從a到b，f（x）），就方便了。

梅秋月嗯……這么多項，肯定要分組分解了吧！看你寫成這樣，應(yīng)該是想幫我一把，那我試試～原式=2^2sum(0,3,2^2i)-sum(0,3,2^2i)……等于（2^2-1）sum(0,3,2^2i)呀！所以我們證明了0≤n≤4時原式是自然數(shù)呢！好耶！

林烏山漂亮。那么，你再想一想，你的做法是不是對n是任意自然數(shù)都成立呢？

梅秋月我看看……哇，都成立誒！因為對于任何（2^2n）-1，我們總可以作恒等變換為（2^2）sum(0,n-1,2^2i)-sum(0,n-1,2^2i)=（（2^2）-1）sum(0,n-1,2^2i)，這樣原式就一定可以被3整除了！太好了！

林烏山非常好。原命題得證。

林烏山那么你再想想，我們的題目以及證明過程中，是不是還有一些具體數(shù)字可以換掉呢？

梅秋月嗯……可以把底數(shù)2換成x？或者把指數(shù)2換成x？——哎呀，干脆都換掉吧！這樣普遍性好一些呢！

林烏山——不不不，梅秋月，你還是沒看出來這個式子中底數(shù)2和指數(shù)中的2是毫無關(guān)聯(lián)的。事實上，在作者最后的研究成果里，有x、m、n三個變量！

梅秋月哇！作者那么厲害呀？快和我說說吧！

林烏山嗯……讓我想想怎么引導(dǎo)你——

梅秋月直說！我要看最簡潔的證明過程！

林烏山（一臉無奈）好吧好吧。是這樣的：((x^mn)-1)/((x^m)-1)=sum(0,n-1,x^mi)。

梅秋月……??？這也太神奇了吧！怎么來的呢？

林烏山其實你已經(jīng)寫出了當(dāng)x=2、m=2時的證明過程。你只需要稍作修改就可以了～

梅秋月好的！對于任何（x^mn）-1，我們總可以作恒等變換為（x^m）sum(0,n-1,x^mi)-sum(0,n-1,x^mi)=（（x^m）-1）sum(0,n-1,x^mi)，于是原式=sum(0,n-1,x^mi)。好耶！

林烏山真棒！不愧是我的小梅！

梅秋月（害羞）嗯……

你們兩個終于互相接受對方了啊。

林烏山不要打擾我們兩個討論問題?。ㄡ尫琵埦碇洌?/p>

我真是開心得飛起來啊～（被吹走）

林烏山（總感覺剛才的行為有點……）

梅秋月林烏山，我們已經(jīng)說完了標(biāo)題的前兩項，那么第三項“梅森素數(shù)”又是什么東西呢？

林烏山這個啊。梅秋月你看看，我們?nèi)绻O(shè)mn是素數(shù)p，那么根據(jù)m、n的實際意義，它們是不是就只能取m=1，n=p或m=p，n=1了？

梅秋月對呀？

林烏山那么再令x=2，此時你就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，（x^p）-1就變成素數(shù)了！

梅秋月……哇哦，真的！

林烏山這就是大名鼎鼎的梅森素數(shù)。它就是說，如果p是素數(shù)，那么（2^p）-1也是素數(shù)。

梅秋月……等等，我有個問題，為什么x一定取2呢？

林烏山你可以取——比如——3試試看?。。?^2）-1就不是素數(shù)。

梅秋月真的誒。那這件事有嚴(yán)格的證明么？

林烏山嗯……不知道啊。這個問題就留給讀者們，當(dāng)做思考題吧～！

林烏山——好的，

梅秋月本章，

完！