青巖書院的秋雨裹著寒氣滲進雜役房的磚縫，蘇明夏蜷縮在發(fā)霉的草堆上，懷中緊抱著邊角磨破的《必修一札記》。三天前她在藏書閣禁地發(fā)現(xiàn)這本布滿符咒的古籍，扉頁用血寫著：算理即靈力，公式化神通?？稍嚵藷o數(shù)次，那些印在紙上的數(shù)列知識，依舊只是晦澀難懂的文字。

“還在裝模作樣？”木門被踹開，林青煙踩著滿地積水走進來，她腰間的“必修二”靈牌泛著冷光，身后跟著幾個嬉皮笑臉的弟子，“雜役也想學(xué)靈算？不如把這些破書當柴火燒了！”

話音未落，林青煙指尖凝出一道算式光刃，空氣中浮現(xiàn)出三道閃爍的數(shù)列題目：

1.?已知有個數(shù)列，后一個數(shù)總是等于前一個數(shù)的兩倍再加上三，并且第一個數(shù)是一，求這個數(shù)列通用的表達式。

2.?在一個等差數(shù)列里，第三項的數(shù)值是七，第五項和第七項的數(shù)值加起來等于二十六，算出這個數(shù)列每一項的規(guī)律。

3.?在一個等比數(shù)列中，第一項和第三項的數(shù)值總和是十，第四項和第六項的數(shù)值加起來等于四分之五，推導(dǎo)出這個數(shù)列的通項公式。

“解不出這三道題，今晚就去后山喂蛇！”光刃裹挾著靈力呼嘯而來，蘇明夏后背重重撞上潮濕的墻壁。懷中的古籍突然發(fā)燙，泛黃的紙頁無風自動，一行金色文字浮現(xiàn)在她眼前：構(gòu)造新的等比數(shù)列。她咬牙咬破舌尖，將精血滴在書頁上，顫抖著在空中比劃解題思路。

“第一題！假設(shè)后一個數(shù)加上某個數(shù)，等于前一個數(shù)加上這個數(shù)的兩倍！”蘇明夏聲音發(fā)顫，卻字字清晰，“把假設(shè)的式子展開，會發(fā)現(xiàn)這個數(shù)是三！”隨著她的動作，空氣中浮現(xiàn)出金色的推導(dǎo)過程，“那么，用原來數(shù)列的每個數(shù)都加上三，就能得到一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是以四為首項，二為公比的等比數(shù)列！根據(jù)等比數(shù)列通用公式，就能算出原來數(shù)列的第n項是二的n加一次方，再減去三！”

第一道題目轟然碎裂，光刃的攻勢被抵消大半。林青煙瞳孔驟縮，厲喝：“繼續(xù)！”

蘇明夏顧不上擦汗，轉(zhuǎn)向第二題：“等差數(shù)列的每一項都可以用首項加上項數(shù)減一的差，再乘以公差來表示！”她在空中畫出兩個方程：第一個方程是首項加上兩倍的公差等于七，第二個方程是首項加上四倍的公差，再加上首項加上六倍的公差等于二十六?！鞍训诙€方程化簡，得到兩倍的首項加上十倍的公差等于二十六，再和第一個方程一起計算……”

陳小雨不知何時擠到人群中，突然大喊：“用消元法！把第一個方程兩邊都乘以二，再和第二個方程相減！”在好友的提示下，蘇明夏飛速運算：“兩個方程相減后，得到六倍的公差等于十二，所以公差是二！再代入第一個方程，算出首項是三！這個數(shù)列的第n項就是三加上二乘以項數(shù)減一的差，最后得到二n加一！”

第二道光刃也應(yīng)聲消散。林小瑤突然從窗口翻進來，塞給蘇明夏半塊干糧：“最后一題用等比數(shù)列通用公式！首項乘以公比的n減一次方！”

蘇明夏接住干糧卻沒吃，盯著第三題：“第一個方程是首項加上首項乘以公比的平方等于十，第二個方程是首項乘以公比的三次方，加上首項乘以公比的五次方等于四分之五……”她突然將兩個方程相除，“相除后得到公比的三次方等于八分之一，所以公比是二分之一！代入第一個方程——”她的手指因為過度用力而發(fā)白，“算出首項是八，第n項就是八乘以二分之一的n減一次方，也就是二的四減n次方！”

三道題目同時炸裂，金色的文字碎片組成屏障，將林青煙的攻擊徹底反彈。蘇明夏感覺體內(nèi)有熱流涌動，腰間的“未入階”徽章泛起微光，“必修一”三個金字緩緩浮現(xiàn)。林青煙臉色鐵青，甩袖離去：“別以為僥幸贏一次就能翻身！”

等眾人散去，陳小雨撿起地上的《必修一札記》：“明夏，你發(fā)現(xiàn)了嗎？這些題目和書中記載的‘靈力共鳴條件’完全吻合！”林小瑤晃著手里的輔助線尺：“下次再遇到刁難，我們?nèi)齻€一起算！看誰還敢欺負雜役！”

蘇明夏望著窗外漸暗的天色，握緊發(fā)燙的徽章。在這個用數(shù)學(xué)丈量力量的世界里，她終于找到了屬于自己的修行之路，而前方，還有無數(shù)由數(shù)字與公式構(gòu)建的挑戰(zhàn)在等待著她。

數(shù)學(xué)小課堂

1.?等差數(shù)列：數(shù)列中后一項與前一項的差值始終相等，這個固定差值叫“公差”。通項公式為“第n項 = 首項 +（項數(shù)n - 1）×公差”，如文中第二題，通過聯(lián)立方程求出首項和公差，就能得到數(shù)列每一項的表達式。

2.?等比數(shù)列：后一項與前一項的比值固定不變，該比值稱為“公比” 。通項公式是“第n項 = 首項×公比的（n - 1）次方”，像第三題，利用兩項之間的關(guān)系求出公比和首項，進而得出通項公式。

3.?數(shù)列通項公式推導(dǎo)技巧：當遇到復(fù)雜遞推關(guān)系（如第一題），可嘗試構(gòu)造新數(shù)列，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的等差或等比數(shù)列；解方程組時，消元法是常用手段，通過消除某個未知數(shù)簡化計算。

實戰(zhàn)應(yīng)用題

已知一個等差數(shù)列，第4項是10，第7項是19，你能算出它的首項和公差，并且寫出通項公式嗎？如果是一個等比數(shù)列，第2項是6，第5項是48，你又該如何求出公比、首項以及通項公式呢？快來運用文中的方法試試看吧！