泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。1.簡介 2.主要著作展開公式定義　　泰勒公式（Taylor's formula） 　　泰勒中值定理：若函數(shù)f(x)在含有x的開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于（x-x.)多項式和一個余項的和： 　　f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x) 　　其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。 　?。ㄗⅲ篺(n)(x.)是f(x.)的n階導(dǎo)數(shù)，不是f(n)與x。的相乘。）

證明　　我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有l(wèi)imΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確；于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式： 　　P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 　　來近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達(dá)式。設(shè)函數(shù)P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 　　接下來就要求誤差的具體表達(dá)式了。設(shè)Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據(jù)柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),這里ξ1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)這里ξ2在ξ1與x.之間；連續(xù)使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，這里ξ在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數(shù)，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般來說展開函數(shù)時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。 麥克勞林展開式　?。喝艉瘮?shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于x多項式和一個余項的和： 　　f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 　　其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),這里0<θ<1。 　　證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函數(shù)f(x)且要獲得其誤差的具體表達(dá)式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當(dāng)x.=0時的特殊形式： 　　f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 　　由于ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。